Determine o domínio das funções abaixo. Justifique sua resposta.
f(x)=\ln \left(c^{x^{2^{*}}+3}-2\right).
Obs.: Para o item b), você pode usar que e>2 e que e^{x} \geq 1 para todo x \geq 0.

Passo 1

Estamos trabalhando com funções do tipo f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr). O domínio de f é o conjunto de x tais que o argumento do logaritmo seja positivo, ou seja
g(x)>0.
Além disso, para potências c^{h(x)} faz sentido só se c>0 e c\neq1.

Passo 2

Item (a): f(x)=\ln\bigl(c^{\,x^2+3}-2\bigr).
Precisamos de
c^{\,x^2+3}-2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad c^{\,x^2+3}>2.

Passo 3

Para resolver c^{\,x^2+3}>2, consideramos dois casos sobre c:
Caso 1: c>1.
Nesse caso \ln c>0 e podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados sem inverter o sinal:
x^2+3>\frac{\ln 2}{\ln c} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2>\underbrace{\frac{\ln 2}{\ln c}-3}_{A}.
Se A\le0, então x^2>A vale para todo x\in\mathbb{R}.
Se A>0, então
x^2>A \quad\Longleftrightarrow\quad x<-\sqrt{A}\\ \text{ou}\\ x>\sqrt{A}.
Caso 2: 0<c<1.
Aqui \ln c<0, ao aplicar o logaritmo o sinal inverte:
x^2+3<\frac{\ln 2}{\ln c}.
Como \ln2>0 e \ln c<0, o quociente \frac{\ln2}{\ln c} é negativo e menor que 3, então x^2<\text{(algo negativo)} não tem solução real.
Além disso, se c=1 a expressão 1^{x^2+3}-2 -1 e o logaritmo não existe.

Passo 4

Item (b): f(x)=\ln\bigl(e^x-2\bigr).
Precisamos de
e^x-2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^x>2 \quad\Longleftrightarrow\quad x>\ln2,
pois a função exponencial é estritamente crescente.

Resposta

(a) Supondo c>0, c\neq1:
  • Se c>1, defina
A=\frac{\ln2}{\ln c}-3.
Se A\le0, o domínio é \mathbb{R}.
Se A>0, o domínio é
(-\infty,-\sqrt{A})\cup(\sqrt{A},\infty).
  • Se 0<c<1 ou c=1, o domínio é vazio.
(b) O domínio é
(\ln2,\infty).

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