VIQ - Nos Problemas 1 a 6 é dado um sistema homogêneo de equacões diferenciais lineares de primeira ordem e duas funções vetoriais
\mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)}.
Mostre que as funções dadas são soluções do sistema de equações diferenciais dado.
Mostre que \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}+c_{2} \mathbf{x}^{(2)} também é solução do sistema de equações diferenciais dado para quaisquer valores de c_{1} e c_{2}.
Mostre que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções do sistema dado.
Mostrar que \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} são soluções do sistema dado.
Mostrar que \mathbf{x}=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}+c_{2}\mathbf{x}^{(2)} também é solução para quaisquer c_{1},c_{2}.
Mostrar que \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} formam um conjunto fundamental de soluções do sistema (ou seja, são linearmente independentes em t>0 e, por terem duas funções para um sistema 2\times2, geram todas as soluções).
Não resolvo nada aqui; apenas enumerei o que o problema pede e os dados que temos.]
Passo 2
Vou mostrar passo a passo que \mathbf{x}^{(1)} é solução. Primeiro calculo a derivada de \mathbf{x}^{(1)}.
Regra usada: para t^{k} vale \dfrac{d}{dt}t^{k}=k\,t^{k-1}. Aqui k=-1. Como \mathbf{x}^{(1)}(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}t^{-1}, derivando componente a componente temos
Portanto t\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t), mostrando que \mathbf{x} é solução para quaisquer c_{1},c_{2}.
Observação didática rápida: essa propriedade é típica de sistemas lineares homogêneos — somas e múltiplos de soluções continuam soluções porque as operações derivada e multiplicação por matriz são lineares.
Passo 5
Falta mostrar que \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} formam um conjunto fundamental, isto é, que são linearmente independentes em t>0. Para vetores solução em sistemas de ordem 2 uma forma prática é calcular o Wronskiano (determinante da matriz cujas colunas são as soluções).
Formo a matriz cujas colunas são \mathbf{x}^{(1)}(t) e \mathbf{x}^{(2)}(t):
Como o intervalo do problema é t>0, temos W(t)=-3t\neq 0 para todo t>0. Um Wronskiano não nulo num ponto (aqui, em todo o intervalo) implica que as colunas são linearmente independentes nesse intervalo.]
Passo 6
Conclusão a partir do passo anterior: como o sistema é de ordem 2 (espaço de soluções tem dimensão 2) e temos duas soluções linearmente independentes em t>0, elas formam uma base da família de soluções — isto é, um conjunto fundamental. Assim qualquer solução geral pode ser escrita como combinação linear \mathbf{x}=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}+c_{2}\mathbf{x}^{(2)}.
Resposta
\mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} são soluções do sistema. \mathbf{x}=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}+c_{2}\mathbf{x}^{(2)} é solução para quaisquer c_{1},c_{2}. \{\mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)}\} é um conjunto fundamental, pois o Wronskiano é W(t)=-3t\neq0 para t>0.