Determine o domínio das funções definidas em
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
Informações dadas: a função está escrita em termos das variáveis
e
, que variam em
. A nossa missão é encontrar todos os pares
para os quais
está bem definida (ou seja, para os quais o valor da função é um número real).
Passo 2
Lembrete importante sobre a função logarítmica natural: a função
está definida apenas para argumentos
estritamente positivos. Ou seja, para que
seja um número real precisamos ter
Aqui o argumento do logaritmo é
. Portanto a condição necessária e suficiente para
existir como número real é
Expliquei isso porque
não existe (tende para
, não é um número real finito) e
de número negativo não é real.
Passo 3
Agora vamos manipular a desigualdade
de forma simples e bem passo a passo:
Começamos com
Começamos com
Subtraindo
dos dois lados (ou, equivalentemente, somando
a ambos os lados) obtemos
Multiplicando por
(lembrando que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte) obtemos
Portanto a condição para o argumento do logaritmo ser positivo é exatamente
.
Passo 4
Interpretação geométrica e exemplos para fixar:
- A desigualdade
descreve o disco aberto de raio centrado na origem no plano . Ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto é menor que . - A fronteira do disco é a circunferência dada por
, e esses pontos não pertencem ao domínio porque ali e não é definido. - Exemplos: o ponto
satisfaz , então está definido. O ponto tem e fica na fronteira, logo não está no domínio. O ponto (ou seja ) tem , então está no domínio.
Passo 5
Conclusão: o domínio da função é o conjunto dos pares
cujo quadrado da distância à origem é menor que
. Em notação de conjuntos: