Determine o domínio das funções definidas em \mathbb{R}.
f(x, y)=\ln \left(1-x^{2}-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
f(x,y)=\ln\!\big(1-x^{2}-y^{2}\big).
Informações dadas: a função está escrita em termos das variáveis x e y, que variam em \mathbb{R}. A nossa missão é encontrar todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais f(x,y) está bem definida (ou seja, para os quais o valor da função é um número real).

Passo 2

Lembrete importante sobre a função logarítmica natural: a função \ln(t) está definida apenas para argumentos t estritamente positivos. Ou seja, para que \ln(t) seja um número real precisamos ter
t>0.
Aqui o argumento do logaritmo é t=1-x^{2}-y^{2}. Portanto a condição necessária e suficiente para f(x,y) existir como número real é
1-x^{2}-y^{2}>0.
Expliquei isso porque \ln(0) não existe (tende para -\infty, não é um número real finito) e \ln de número negativo não é real.

Passo 3

Agora vamos manipular a desigualdade \,1-x^{2}-y^{2}>0\, de forma simples e bem passo a passo:
Começamos com
1-x^{2}-y^{2}>0.
Subtraindo 1 dos dois lados (ou, equivalentemente, somando x^{2}+y^{2} a ambos os lados) obtemos
-x^{2}-y^{2}>-1.
Multiplicando por -1 (lembrando que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte) obtemos
x^{2}+y^{2}<1.
Portanto a condição para o argumento do logaritmo ser positivo é exatamente x^{2}+y^{2}<1.

Passo 4

Interpretação geométrica e exemplos para fixar:
  • A desigualdade \,x^{2}+y^{2}<1\, descreve o disco aberto de raio 1 centrado na origem no plano (x,y). Ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto (0,0) é menor que 1.
  • A fronteira do disco é a circunferência dada por x^{2}+y^{2}=1, e esses pontos não pertencem ao domínio porque ali 1-x^{2}-y^{2}=0 e \ln(0) não é definido.
  • Exemplos: o ponto (0,0) satisfaz 0^{2}+0^{2}=0<1, então f(0,0)=\ln(1)=0 está definido. O ponto (1,0) tem 1^{2}+0^{2}=1 e fica na fronteira, logo não está no domínio. O ponto (0,5,0,8) (ou seja (0{,}5,0{,}8)) tem 0{,}5^{2}+0{,}8^{2}=0{,}25+0{,}64=0{,}89<1, então está no domínio.

Passo 5

Conclusão: o domínio da função é o conjunto dos pares (x,y) cujo quadrado da distância à origem é menor que 1. Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}

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