VIQ - Nos Problemas 1 a 6 é dado um sistema homogêneo de equacões diferenciais lineares de primeira ordem e duas funções vetoriais
\mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)}.
Mostre que as funções dadas são soluções do sistema de equações diferenciais dado.
Mostre que \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}+c_{2} \mathbf{x}^{(2)} também é solução do sistema de equações diferenciais dado para quaisquer valores de c_{1} e c_{2}.
Mostre que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções do sistema dado.
5.
Mostrar que \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} são soluções do sistema dado.
Mostrar que \mathbf{x}=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}+c_{2}\mathbf{x}^{(2)} é solução do sistema para quaisquer constantes c_{1},c_{2}.
Mostrar que \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} formam um conjunto fundamental de soluções do sistema (ou seja, são linearmente independentes e, portanto, sua combinação linear fornece a solução geral).]
Passo 2
Verificação de que \mathbf{x}^{(1)} é solução — cálculo do lado esquerdo t\,\mathbf{x}^{(1)\prime}(t).
Escrevemos \mathbf{x}^{(1)}(t)=\binom{1}{1}t. Aqui \binom{1}{1} é um vetor constante; derivando componente a componente usamos a regra de derivada de t:
ou seja, \mathbf{x}^{(2)} também satisfaz o sistema e é solução.]
Passo 4
Mostrando que combinações lineares são soluções — propriedade de linearidade do sistema.
Considere \mathbf{x}(t)=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}(t)+c_{2}\mathbf{x}^{(2)}(t) com c_{1},c_{2} constantes reais. Derivando \mathbf{x} respeitando a linearidade da derivada (a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada):
Portanto \mathbf{x}(t)=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}(t)+c_{2}\mathbf{x}^{(2)}(t) satisfaz o sistema para quaisquer constantes c_{1},c_{2}. Essa é a propriedade de linearidade do sistema homogêneo.
Passo 5
Mostrando que \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} formam um conjunto fundamental — provar linearidade independente via Wronskiano.
Para sistemas 2\times2, uma forma prática de testar independência linear de duas soluções é calcular o determinante formado por elas como colunas (o Wronskiano). Construímos a matriz cujas colunas são \mathbf{x}^{(1)}(t) e \mathbf{x}^{(2)}(t):
Observe que calculei a entrada (1,1) como t (vinda de 1\cdot t), (1,2) como t^{-1}, etc., diretamente a partir das funções dadas. O valor obtido é W(t)=2 para todo t>0. Como W(t) é diferente de zero em t>0, as duas soluções são linearmente independentes em todo o domínio t>0.
Duas soluções linearmente independentes formam um conjunto fundamental para o sistema de ordem 2, isto é, sua combinação linear com constantes arbitrárias representa a solução geral. Assim, \{\mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)}\} é um conjunto fundamental.]
Resposta
\mathbf{x}^{(1)}(t)=\binom{1}{1}t e \mathbf{x}^{(2)}(t)=\binom{1}{3}t^{-1} são soluções do sistema t\mathbf{x}'= \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}.\n \mathbf{x}(t)=c_{1}\mathbf{x}^{(1)}(t)+c_{2}\mathbf{x}^{(2)}(t) é solução para quaisquer constantes c_{1},c_{2}.\n \{\mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)}\} é um conjunto fundamental de soluções, pois o Wronskiano W(t)=2\neq0 para todo t>0.]