Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - É preciso encontrar todos os valores reais de
para os quais está definida (ou seja, dá um número real).
Passo 2
O que significa “estar definida” aqui — regras que vamos usar:
- Uma raiz quadrada
só representa um número real quando o radicando satisfaz . Então sempre que aparecer impõe-se uma desigualdade do tipo "radicando ". - Uma divisão
só é permitida se . No nosso caso, como o denominador é , além de exigir pela raiz, precisamos também garantir que , ou seja .
Resumo prático: do numerador vem uma condição; do denominador vem uma condição estrita .
Passo 3
Extrair a condição do numerador
:
Resolver essa desigualdade linear:
Explicação do passo: dividiu-se ambos os lados por
(número positivo), então o sentido da desigualdade não se altera.
Passo 4
Extrair a condição do denominador
:
Resolver:
Lembrete: aqui foi
(estrito) porque
não pode ser zero — isso tornaria a divisão impossível.
Passo 5
Agora precisamos dos
que satisfazem ambas as condições simultaneamente:
Comparando as duas:
e
, portanto a condição mais forte (que já implica a outra) é
. Verificação do extremo: para
a expressão vale
que é bem definido (denominador
). Portanto o extremo inferior está incluído.
Passo 6
Conclusão clara do raciocínio: todos os
maiores ou iguais a
são permitidos, e nenhum número menor serve porque quebraria a condição do numerador. Boa notícia: domínios com raízes e frações costumam reduzir a interseção de desigualdades, então o procedimento mostrado serve para problemas parecidos — pratique com outros coeficientes para fixar.