Determine o domínio das funções:
f(x)=\frac{\sqrt{5 x-2}}{\sqrt{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\dfrac{\sqrt{5x-2}}{\sqrt{x+1}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt{5x-2}.
  • O denominador é \sqrt{x+1}.
  • É preciso encontrar todos os valores reais de x para os quais f(x) está definida (ou seja, dá um número real).

Passo 2

O que significa “estar definida” aqui — regras que vamos usar:
  • Uma raiz quadrada \sqrt{A} só representa um número real quando o radicando satisfaz A\ge 0. Então sempre que aparecer \sqrt{\cdot} impõe-se uma desigualdade do tipo "radicando \ge 0".
  • Uma divisão \dfrac{B}{C} só é permitida se C\neq 0. No nosso caso, como o denominador é \sqrt{x+1}, além de exigir x+1\ge 0 pela raiz, precisamos também garantir que \sqrt{x+1}\neq 0, ou seja x+1>0.
    Resumo prático: do numerador vem uma condição \ge 0; do denominador vem uma condição estrita >0.

Passo 3

Extrair a condição do numerador \sqrt{5x-2}:
5x-2 \ge 0.
Resolver essa desigualdade linear:
5x \ge 2 \quad\Rightarrow\quad x \ge \frac{2}{5}.
Explicação do passo: dividiu-se ambos os lados por 5 (número positivo), então o sentido da desigualdade não se altera.

Passo 4

Extrair a condição do denominador \sqrt{x+1}:
x+1 > 0.
Resolver:
x > -1.
Lembrete: aqui foi > (estrito) porque \sqrt{x+1} não pode ser zero — isso tornaria a divisão impossível.

Passo 5

Agora precisamos dos x que satisfazem ambas as condições simultaneamente:
x \ge \frac{2}{5} \qquad\text{e}\qquad x > -1.
Comparando as duas: \dfrac{2}{5}=0{,}4 e 0{,}4>-1, portanto a condição mais forte (que já implica a outra) é x\ge \dfrac{2}{5}. Verificação do extremo: para x=\dfrac{2}{5} a expressão vale
f\!\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{\sqrt{5\cdot\frac{2}{5}-2}}{\sqrt{\frac{2}{5}+1}}=\frac{\sqrt{0}}{\sqrt{\tfrac{7}{5}}}=0,
que é bem definido (denominador =\sqrt{7/5}>0). Portanto o extremo inferior está incluído.

Passo 6

Conclusão clara do raciocínio: todos os x maiores ou iguais a \dfrac{2}{5} são permitidos, e nenhum número menor serve porque quebraria a condição do numerador. Boa notícia: domínios com raízes e frações costumam reduzir a interseção de desigualdades, então o procedimento mostrado serve para problemas parecidos — pratique com outros coeficientes para fixar.

Resposta

\left[\dfrac{2}{5},\infty\right)

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