Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o domínio (todos os
reais para os quais
está definida). Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) deve ser maior ou igual a zero:
. - Há uma divisão por
, logo (porque iria para divisão por zero).
Essas duas condições juntas definem o domínio.
Passo 2
Vamos trabalhar a desigualdade do radicando:
Para resolver essa desigualdade com
no denominador é natural separar em casos conforme o sinal de
, porque
tem fórmulas distintas para
e
. Além disso lembramos que
.
Passo 3
Caso 1:
. Então
e a desigualdade fica
Como
podemos multiplicar ambos os lados por
sem trocar o sinal da desigualdade. Fazendo isso:
Reescrevendo em forma padrão:
ou, multiplicando por
(agora troca o sentido):
Passo 4
Resolvendo a inequação quadrática
. Primeiro achamos as raízes da equação associada
usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
Como o coeficiente do
é positivo, a parábola abre para cima e a desigualdade
vale para
entre as raízes:
Voltando à hipótese do caso (
) e lembrando
, intersectamos com
. Observando que
, a interseção é
Portanto, a contribuição ao domínio vinda do caso
é
.
Passo 5
Caso 2:
. Então
e a desigualdade fica
ou seja
Aqui observe que
. Multiplicamos ambos os lados por
(positivo), isso preserva o sentido da desigualdade:
Fazendo as multiplicações:
ou organizando:
Note que essa expressão é um quadrado perfeito:
Passo 6
A desigualdade
é verdadeira para todo
real (um quadrado real nunca é negativo). Como chegamos a ela multiplicando por
, isso implica que, para todo
, a desigualdade original
é satisfeita. Lembrando
, a contribuição do caso
ao domínio é todo o intervalo
.
Passo 7
Unindo os dois casos (e lembrando que
não pertence ao domínio), obtemos o domínio completo:
Vale checar as bordas:
anula o radicando (fica zero), então está permitido;
não é permitido porque
dá divisão por zero.