Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{2+\frac{1}{|x|}-x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\sqrt{2+\dfrac{1}{|x|}-x} e pede o domínio (todos os x reais para os quais f(x) está definida). Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) deve ser maior ou igual a zero: 2+\dfrac{1}{|x|}-x \ge 0.
  • Há uma divisão por |x|, logo x\neq 0 (porque |x|=0 iria para divisão por zero).
    Essas duas condições juntas definem o domínio.

Passo 2

Vamos trabalhar a desigualdade do radicando:
2+\dfrac{1}{|x|}-x \ge 0.
Para resolver essa desigualdade com |x| no denominador é natural separar em casos conforme o sinal de x, porque |x| tem fórmulas distintas para x>0 e x<0. Além disso lembramos que x\neq 0.

Passo 3

Caso 1: x>0. Então |x|=x e a desigualdade fica
2+\dfrac{1}{x}-x \ge 0.
Como x>0 podemos multiplicar ambos os lados por x sem trocar o sinal da desigualdade. Fazendo isso:
x\left(2+\dfrac{1}{x}-x\right) \ge 0
2x+1-x^{2} \ge 0.
Reescrevendo em forma padrão:
-x^{2}+2x+1 \ge 0
ou, multiplicando por -1 (agora troca o sentido):
x^{2}-2x-1 \le 0.

Passo 4

Resolvendo a inequação quadrática x^{2}-2x-1 \le 0. Primeiro achamos as raízes da equação associada x^{2}-2x-1=0 usando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8.
As raízes são
x=\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}.
Como o coeficiente do x^{2} é positivo, a parábola abre para cima e a desigualdade x^{2}-2x-1\le0 vale para x entre as raízes:
1-\sqrt{2} \le x \le 1+\sqrt{2}.
Voltando à hipótese do caso ( x>0 ) e lembrando x\neq 0, intersectamos com x>0. Observando que 1-\sqrt{2}<0, a interseção é
0 < x \le 1+\sqrt{2}.
Portanto, a contribuição ao domínio vinda do caso x>0 é (0,\,1+\sqrt{2}].

Passo 5

Caso 2: x<0. Então |x|=-x e a desigualdade fica
2+\dfrac{1}{-x}-x \ge 0,
ou seja
2-\dfrac{1}{x}-x \ge 0.
Aqui observe que -x>0. Multiplicamos ambos os lados por -x (positivo), isso preserva o sentido da desigualdade:
(-x)\left(2-\dfrac{1}{x}-x\right) \ge 0.
Fazendo as multiplicações:
-2x +1 + x^{2} \ge 0
ou organizando:
x^{2}-2x+1 \ge 0.
Note que essa expressão é um quadrado perfeito:
(x-1)^{2} \ge 0.

Passo 6

A desigualdade (x-1)^{2}\ge0 é verdadeira para todo x real (um quadrado real nunca é negativo). Como chegamos a ela multiplicando por -x>0, isso implica que, para todo x<0, a desigualdade original 2+\dfrac{1}{|x|}-x\ge0 é satisfeita. Lembrando x\neq0, a contribuição do caso x<0 ao domínio é todo o intervalo (-\infty,0).

Passo 7

Unindo os dois casos (e lembrando que x=0 não pertence ao domínio), obtemos o domínio completo:
(-\infty,0)\\ \cup\\ (0,\,1+\sqrt{2}].
Vale checar as bordas: x=1+\sqrt{2} anula o radicando (fica zero), então está permitido; x\to0^{+} não é permitido porque x=0 dá divisão por zero.

Resposta

(-\infty,0)\cup(0,\,1+\sqrt{2}]

Exercícios relacionados