Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - Para a raiz quadrada estar bem definida, essa expressão precisa ser maior ou igual a zero.
- Além disso, não se pode dividir por zero, então
.
Passo 2
Condição matemática que define o domínio: a expressão dentro da raiz deve satisfazer
com a restrição extra
(isso já aparece naturalmente na resolução da desigualdade, mas é importante lembrar).
Vou resolver a desigualdade racional acima. A técnica padrão é encontrar os pontos críticos (zeros do numerador e pontos onde o denominador se anula) e fazer um estudo de sinais entre esses pontos.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos:
- Numerador zero:
resolve-se como
- Denominador zero:
resolve-se como
Esses dois valores particionam a reta em três intervalos:
,
e
. Em cada intervalo o sinal da razão
é constante.
Passo 4
Vou analisar o sinal em cada intervalo escolhendo um ponto teste em cada intervalo e calculando o sinal do numerador e do denominador separadamente.
Intervalo
: escolho
.
- Numerador:
(negativo). - Denominador:
(negativo).
Logo a razão épositivo. Portanto a expressão é positiva nesse intervalo.
Intervalo
: escolho
.
- Numerador:
(negativo). - Denominador:
(positivo).
Logo a razão énegativo. Portanto a expressão é negativa nesse intervalo (não serve para o domínio).
Intervalo
: escolho
.
- Numerador:
(positivo). - Denominador:
(positivo).
Logo a razão épositivo. Portanto a expressão é positiva nesse intervalo.
Passo 5
Agora tratar os pontos críticos:
- Em
o denominador é zero, então a expressão não está definida; logo NÃO pertence ao domínio. - Em
o numerador é zero e o denominador é . Assim em , e é permitido. Portanto pertence ao domínio.
Passo 6
Juntando as informações:
- A expressão é não negativa (positiva) em
e em . - O ponto
também é permitido (radicando zero). - O ponto
é excluído.
Conclui-se que os
válidos são todos os
em
e todos os
.