Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{\frac{5 x-2}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\dfrac{5x-2}{x+1}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{5x-2}{x+1}.
  • Para a raiz quadrada estar bem definida, essa expressão precisa ser maior ou igual a zero.
  • Além disso, não se pode dividir por zero, então x\neq -1.

Passo 2

Condição matemática que define o domínio: a expressão dentro da raiz deve satisfazer
\frac{5x-2}{x+1}\ge 0
com a restrição extra x\neq -1 (isso já aparece naturalmente na resolução da desigualdade, mas é importante lembrar).
Vou resolver a desigualdade racional acima. A técnica padrão é encontrar os pontos críticos (zeros do numerador e pontos onde o denominador se anula) e fazer um estudo de sinais entre esses pontos.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos:
  • Numerador zero: 5x-2=0 resolve-se como
5x=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{5}.
  • Denominador zero: x+1=0 resolve-se como
x=-1.
Esses dois valores particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,\tfrac{2}{5}) e (\tfrac{2}{5},\infty). Em cada intervalo o sinal da razão \dfrac{5x-2}{x+1} é constante.

Passo 4

Vou analisar o sinal em cada intervalo escolhendo um ponto teste em cada intervalo e calculando o sinal do numerador e do denominador separadamente.
Intervalo (-\infty,-1): escolho x=-2.
  • Numerador: 5(-2)-2=-10-2=-12 (negativo).
  • Denominador: -2+1=-1 (negativo).
    Logo a razão é \dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}}= positivo. Portanto a expressão é positiva nesse intervalo.
Intervalo (-1,\tfrac{2}{5}): escolho x=0.
  • Numerador: 5\cdot0-2=-2 (negativo).
  • Denominador: 0+1=1 (positivo).
    Logo a razão é \dfrac{\text{negativo}}{\text{positivo}}= negativo. Portanto a expressão é negativa nesse intervalo (não serve para o domínio).
Intervalo (\tfrac{2}{5},\infty): escolho x=1.
  • Numerador: 5\cdot1-2=3 (positivo).
  • Denominador: 1+1=2 (positivo).
    Logo a razão é \dfrac{\text{positivo}}{\text{positivo}}= positivo. Portanto a expressão é positiva nesse intervalo.

Passo 5

Agora tratar os pontos críticos:
  • Em x=-1 o denominador é zero, então a expressão \dfrac{5x-2}{x+1} não está definida; logo x=-1 NÃO pertence ao domínio.
  • Em x=\tfrac{2}{5} o numerador é zero e o denominador é \tfrac{2}{5}+1=\tfrac{7}{5}\neq0. Assim \dfrac{5x-2}{x+1}=0 em x=\tfrac{2}{5}, e \sqrt{0}=0 é permitido. Portanto x=\tfrac{2}{5} pertence ao domínio.

Passo 6

Juntando as informações:
  • A expressão é não negativa (positiva) em (-\infty,-1) e em (\tfrac{2}{5},\infty).
  • O ponto x=\tfrac{2}{5} também é permitido (radicando zero).
  • O ponto x=-1 é excluído.
Conclui-se que os x válidos são todos os x em (-\infty,-1) e todos os x\ge \tfrac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle (-\infty,-1)\cup\left[\frac{2}{5},\infty\right)

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