Determine o domínio das funções: f(x)=\sqrt{x-\left|x^{2}+x-2\right|}
Passo 1
O enunciado dá a função \,f(x)=\sqrt{x-\left|x^{2}+x-2\right|}\, e pede o domínio.
Informações relevantes:
A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa. Ou seja, precisamos dos x tais que
x-\left|x^{2}+x-2\right|\ge 0.
Definimos a quadrática \,q(x)=x^{2}+x-2\,, que aparece dentro do valor absoluto. As propriedades de sinal de q(x) vão determinar como eliminar o valor absoluto.
Passo 2
Explicação do método (casos do valor absoluto) e identificação dos intervalos onde cada caso vale.
Definição do valor absoluto: para qualquer número y\),
\[|y|= \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y=q(x)=x^{2}+x-2\]. Primeiro achamos onde \(q(x) é positivo, zero ou negativo.
Fatorando q(x):
q(x)=x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
As raízes são -2 e 1. Como é uma parábola com coeficiente positivo, tem sinal:
Agora intersectamos com o intervalo onde q(x)<0, isto é com (-2,1).
Observe que -1-\sqrt{3}\approx -1-1{,}732\approx -2{,}732, que fica à esquerda de -2. Assim a parte (-\infty,-1-\sqrt{3}] não intersecta (-2,1). A outra parte [-1+\sqrt{3},\infty) tem -1+\sqrt{3}\approx -1+1{,}732\approx 0{,}732, e ao intersectar com (-2,1) obtemos
[-1+\sqrt{3},\,1).
(Em x=1 temos q(1)=0, então aqui o caso q(x)<0 não inclui 1; a inclusão de 1 será verificada no caso 1.)
Portanto, do caso 2 obtemos a solução parcial [-1+\sqrt{3},\,1).
Passo 5
União das soluções parciais obtidas nos dois casos:
Aqui 1 fica incluído porque pertence ao primeiro intervalo [1,\sqrt{2}].
Passo 6
Verificação rápida dos endpoints (para garantir que realmente a expressão dentro da raiz fica \ge 0):
Em x=-1+\sqrt{3} tem-se x^{2}+2x-2=0 (pela construção), e note que x+q(x)=0 nesse ponto; como aqui q(x)<0, temos |q(x)|=-q(x) e então o interior da raiz é
x-|q(x)|=x+q(x)=0,
portanto permitido (raiz de 0).
Em x=\sqrt{2} tem-se x^{2}=2 e no caso 1 obtivemos -x^{2}+2=0, isto é x-q(x)=0, então o interior da raiz também é 0, permitido.
Esses testes confirmam que os extremos da união devem ser incluídos.