Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{x-\left|x^{2}+x-2\right|}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\sqrt{x-\left|x^{2}+x-2\right|}\, e pede o domínio.
Informações relevantes:
  • A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa. Ou seja, precisamos dos x tais que
x-\left|x^{2}+x-2\right|\ge 0.
  • Definimos a quadrática \,q(x)=x^{2}+x-2\,, que aparece dentro do valor absoluto. As propriedades de sinal de q(x) vão determinar como eliminar o valor absoluto.

Passo 2

Explicação do método (casos do valor absoluto) e identificação dos intervalos onde cada caso vale.
Definição do valor absoluto: para qualquer número y\), \[|y|= \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y=q(x)=x^{2}+x-2\]. Primeiro achamos onde \(q(x) é positivo, zero ou negativo.
Fatorando q(x):
q(x)=x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
As raízes são -2 e 1. Como é uma parábola com coeficiente positivo, tem sinal:
q(x)\ge 0 \quad\text{em}\quad (-\infty,-2]\cup[1,\infty),
q(x)<0 \quad\text{em}\quad (-2,1).
Vamos resolver a desigualdade \,x-|q(x)|\ge0\, em cada um desses casos e depois intersectar com os intervalos de validade.]

Passo 3

Caso 1: q(x)\ge 0 (ou seja x\in(-\infty,-2]\cup[1,\infty)). Nesse caso |q(x)|=q(x). A desigualdade fica
x-q(x)\ge 0.
Substituindo q(x)=x^{2}+x-2,
x-(x^{2}+x-2)\ge 0.
Simplificando termo a termo:
x-x^{2}-x+2\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+2\ge 0.
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal,
x^{2}-2\le 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 2.
Isto equivale a
x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}].
Agora intersectamos com o conjunto onde q(x)\ge0:
\big((-\infty,-2]\cup[1,\infty)\big)\cap[-\sqrt{2},\sqrt{2}].
Como -2<-\sqrt{2} (pois -2\approx-2{,}000<-1{,}414), a interseção com (-\infty,-2] é vazia. A interseção com [1,\infty) é
[1,\sqrt{2}].
Portanto, do caso 1 obtemos a solução parcial [1,\sqrt{2}].

Passo 4

Caso 2: q(x)<0 (ou seja x\in(-2,1)). Nesse caso |q(x)|=-q(x). A desigualdade torna-se
x-(-q(x))\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x+q(x)\ge 0.
Substituindo q(x)=x^{2}+x-2,
x+(x^{2}+x-2)\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+2x-2\ge 0.
Vamos resolver a desigualdade quadrática x^{2}+2x-2\ge0. Calcule o discriminante:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12.
As raízes são
x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.
Como o coeficiente quadrático é positivo, a parábola abre para cima e a desigualdade \ge0 vale fora do intervalo entre as raízes:
x\in(-\infty,-1-\sqrt{3}]\\ \cup\\ [-1+\sqrt{3},\infty).
Agora intersectamos com o intervalo onde q(x)<0, isto é com (-2,1).
Observe que -1-\sqrt{3}\approx -1-1{,}732\approx -2{,}732, que fica à esquerda de -2. Assim a parte (-\infty,-1-\sqrt{3}] não intersecta (-2,1). A outra parte [-1+\sqrt{3},\infty) tem -1+\sqrt{3}\approx -1+1{,}732\approx 0{,}732, e ao intersectar com (-2,1) obtemos
[-1+\sqrt{3},\,1).
(Em x=1 temos q(1)=0, então aqui o caso q(x)<0 não inclui 1; a inclusão de 1 será verificada no caso 1.)
Portanto, do caso 2 obtemos a solução parcial [-1+\sqrt{3},\,1).

Passo 5

União das soluções parciais obtidas nos dois casos:
[-1+\sqrt{3},\,1)\\ \cup\\ [1,\sqrt{2}] = [-1+\sqrt{3},\,\sqrt{2}].
Aqui 1 fica incluído porque pertence ao primeiro intervalo [1,\sqrt{2}].

Passo 6

Verificação rápida dos endpoints (para garantir que realmente a expressão dentro da raiz fica \ge 0):
  • Em x=-1+\sqrt{3} tem-se x^{2}+2x-2=0 (pela construção), e note que x+q(x)=0 nesse ponto; como aqui q(x)<0, temos |q(x)|=-q(x) e então o interior da raiz é
x-|q(x)|=x+q(x)=0,
portanto permitido (raiz de 0).
  • Em x=\sqrt{2} tem-se x^{2}=2 e no caso 1 obtivemos -x^{2}+2=0, isto é x-q(x)=0, então o interior da raiz também é 0, permitido.
Esses testes confirmam que os extremos da união devem ser incluídos.

Resposta

\displaystyle \left[-1+\sqrt{3},\\ \sqrt{2}\right]

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