Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio, ou seja, o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define
faz sentido (é bem definida).
Informações relevantes do enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, cujo radicando é . - Há uma divisão pelo denominador
.
Passo 2
Regra para a raiz quadrada (conceito): a raiz quadrada principal
está definida apenas quando o radicando é maior ou igual a zero. Aqui o radicando é
. Logo exigimos
Agora resolvemos essa desigualdade: subtraindo
de ambos os lados,
Isso significa que, por causa da raiz, só podemos escolher
no conjunto
, que em notação de intervalos é
.
Passo 3
Regra para a divisão (conceito): uma fração só é válida se o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é
. Portanto exigimos
Resolvendo, obtemos
Isso significa que
é proibido, independentemente das outras condições.
Passo 4
Intersecção das condições: para que
esteja definida precisamos satisfazer simultaneamente as duas restrições:
Em palavras: todos os
maiores ou iguais a
, exceto o ponto
que é proibido pelo denominador.
Passo 5
Expressão final do domínio (motivação e notação): o conjunto de todos os
com
é
. Removendo o ponto
temos o domínio escrito como a união de dois intervalos:
Explicação das bordas: o
está com colchete porque
torna o radicando zero e
é
(válido); o
está excluído (parênteses) porque nele o denominador vira zero e a função não existe.
Passo 6
Checagem rápida com exemplos:
- Para
: e , logo está definida. - Para
: denominador , então não existe — por isso excluímos . - Para
: e denominador , então existe.