Determine o domínio das funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{x-9}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{x-9}
e pede: determinar o domínio, ou seja, o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (é bem definida).
Informações relevantes do enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x+5}, cujo radicando é x+5.
  • Há uma divisão pelo denominador x-9.

Passo 2

Regra para a raiz quadrada (conceito): a raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} está definida apenas quando o radicando é maior ou igual a zero. Aqui o radicando é x+5. Logo exigimos
x+5 \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade: subtraindo 5 de ambos os lados,
x \ge -5.
Isso significa que, por causa da raiz, só podemos escolher x no conjunto \{x\mid x\ge -5\}, que em notação de intervalos é [ -5,\infty ).

Passo 3

Regra para a divisão (conceito): uma fração só é válida se o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é x-9. Portanto exigimos
x-9 \neq 0.
Resolvendo, obtemos
x \neq 9.
Isso significa que x=9 é proibido, independentemente das outras condições.

Passo 4

Intersecção das condições: para que f(x) esteja definida precisamos satisfazer simultaneamente as duas restrições:
x\ge -5 \quad\text{e}\quad x\neq 9.
Em palavras: todos os x maiores ou iguais a -5, exceto o ponto x=9 que é proibido pelo denominador.

Passo 5

Expressão final do domínio (motivação e notação): o conjunto de todos os x com x\ge -5 é [ -5,\infty ). Removendo o ponto 9 temos o domínio escrito como a união de dois intervalos:
[ -5,9 )\cup(9,\infty ).
Explicação das bordas: o -5 está com colchete porque x=-5 torna o radicando zero e \sqrt{0} é 0 (válido); o 9 está excluído (parênteses) porque nele o denominador vira zero e a função não existe.

Passo 6

Checagem rápida com exemplos:
  • Para x=-5: \sqrt{-5+5}=\sqrt{0}=0 e x-9=-14\neq0, logo f(-5)=0 está definida.
  • Para x=9: denominador 9-9=0, então f(9) não existe — por isso excluímos 9.
  • Para x=10: \sqrt{10+5}=\sqrt{15} e denominador 10-9=1\neq0, então f(10) existe.

Resposta

[ -5,9 )\cup(9,\infty )

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