Determine o domínio das funções:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\ln \left(x^{2}+1\right)}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\ln\left(x^{2}+1\right)}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve uma composição: primeiro x\mapsto x^{2}+1, depois \ln(\cdot), depois \sqrt{\cdot}, e por fim a divisão por esse resultado.
  • Para definir f(x) devemos garantir que todas as operações sejam válidas (argumento do \ln permitido, radicando da raiz quadrada permitido e denominador diferente de zero).

Passo 2

Condição para o logaritmo natural estar definido: o argumento do \ln deve ser estritamente positivo. Portanto precisamos de
x^{2}+1>0.
Explicação didática: \ln(u) só faz sentido quando u>0. Aqui u=x^{2}+1. Observe que x^{2}\ge 0 para todo x, logo x^{2}+1\ge 1>0. Conclusão: a condição x^{2}+1>0 é satisfeita para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, a definição do \ln não exclui nenhum número real neste caso.

Passo 3

Condição para a raiz quadrada ser válida e o denominador não anular: o radicando deve ser estritamente positivo. Vamos analisar separadamente e depois combinar:
  • Para a raiz quadrada \sqrt{y} estar definida em números reais precisaríamos de y\ge 0.
  • Porém aqui \sqrt{\ln(x^{2}+1)} aparece no denominador; portanto não pode ser zero. Assim precisamos de
\ln\left(x^{2}+1\right)>0.
Explicação didática: se tivéssemos apenas a raiz, aceitaríamos \ln(x^{2}+1)=0 (raiz nula). Mas como estamos dividindo por essa raiz, a situação \sqrt{\ln(\cdot)}=0 é proibida (divisão por zero). Então exigimos estritamente >0.

Passo 4

Resolver a desigualdade \ln\left(x^{2}+1\right)>0. Usamos a propriedade de monotonicidade do \ln: para u>0 vale \ln(u)>0 se, e somente se, u>1. Aplicando com u=x^{2}+1:
\ln\left(x^{2}+1\right)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+1>1.
Simplificando:
x^{2}+1>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}>0.
E x^{2}>0 ocorre para todo x real, exceto x=0. Portanto a desigualdade é satisfeita para todos os x tais que x\neq 0.

Passo 5

Conclusão lógica: a condição do \ln já não excluía nada; a condição combinada (raiz bem definida e denominador não nulo) exige \ln(x^{2}+1)>0, que é equivalente a x\neq 0. Assim todos os números reais diferentes de zero são permitidos.

Resposta

\;(-\infty,0)\cup(0,\infty)

Exercícios relacionados