Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve uma composição: primeiro
, depois , depois , e por fim a divisão por esse resultado. - Para definir
devemos garantir que todas as operações sejam válidas (argumento do permitido, radicando da raiz quadrada permitido e denominador diferente de zero).
Passo 2
Condição para o logaritmo natural estar definido: o argumento do
deve ser estritamente positivo. Portanto precisamos de
Explicação didática:
só faz sentido quando
. Aqui
. Observe que
para todo
, logo
. Conclusão: a condição
é satisfeita para todo
. Ou seja, a definição do
não exclui nenhum número real neste caso.
Passo 3
Condição para a raiz quadrada ser válida e o denominador não anular: o radicando deve ser estritamente positivo. Vamos analisar separadamente e depois combinar:
- Para a raiz quadrada
estar definida em números reais precisaríamos de . - Porém aqui
aparece no denominador; portanto não pode ser zero. Assim precisamos de
Explicação didática: se tivéssemos apenas a raiz, aceitaríamos
(raiz nula). Mas como estamos dividindo por essa raiz, a situação
é proibida (divisão por zero). Então exigimos estritamente
.
Passo 4
Resolver a desigualdade
. Usamos a propriedade de monotonicidade do
: para
vale
se, e somente se,
. Aplicando com
:
Simplificando:
E
ocorre para todo
real, exceto
. Portanto a desigualdade é satisfeita para todos os
tais que
.
Passo 5
Conclusão lógica: a condição do
já não excluía nada; a condição combinada (raiz bem definida e denominador não nulo) exige
, que é equivalente a
. Assim todos os números reais diferentes de zero são permitidos.