Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações dadas explicitamente no enunciado:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - A tarefa é encontrar todos os valores reais de
para os quais está bem definida (ou seja, a função assume um valor real).
Passo 2
Entender a restrição vinda do logaritmo natural.
Lembre que a função está definida apenas para argumentos positivos, ou seja, é preciso ter
Lembre que a função
Vamos resolver essa desigualdade: como
para todo
, temos
Aplicando logaritmo natural (que é crescente) ou usando a propriedade de exponencial, isso equivale a
Portanto, já obtemos uma primeira condição necessária para o domínio:
.
Passo 3
Analisar o denominador
. Primeiro, o denominador precisa estar definido como número real e diferente de zero. Uma forma prática de entender
é escrever
que exige
definido (no sentido real) — isto é, exige
— para usar essa expressão sem entrar em números complexos. Para
temos:
-
está definido e real; -
é então bem definido e positivo; - em particular
para (porque a exponencial nunca é zero).
Passo 4
Verificar candidatos fora de
. Poderia existir algum
que faça
bem definido? Não: da desigualdade do Passo 2, só
atende
. Logo qualquer
está automaticamente excluído do domínio por tornar o logaritmo indefinido. Portanto não é necessário investigar extensões de
para bases negativas (casos de potências definidas pontualmente), porque o numerador já proíbe
.
Passo 5
Concluir o domínio usando as condições reunidas. A única condição que resta é
. Para todo
tanto
quanto
estão bem definidos (reais) e o denominador é não nulo, logo
está bem definida para todos esses
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Para
: é (bem definido) e , então existe. - Para
: e é indefinido — portanto não pertence ao domínio. - Para
: , logo não existe em — excluído.