Determine o domínio das funções:
f(x)=\frac{\ln \left(e^{x}-1\right)+3}{x^{x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{\ln\!\left(e^{x}-1\right)+3}{x^{x}}.
Informações dadas explicitamente no enunciado:
  • A expressão do numerador é \ln\!\left(e^{x}-1\right)+3.
  • A expressão do denominador é x^{x}.
  • A tarefa é encontrar todos os valores reais de x para os quais f(x) está bem definida (ou seja, a função assume um valor real).

Passo 2

Entender a restrição vinda do logaritmo natural.
Lembre que a função \ln(t) está definida apenas para argumentos positivos, ou seja, é preciso ter
e^{x}-1>0.
Vamos resolver essa desigualdade: como e^{x}>0 para todo x, temos
e^{x}-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}>1.
Aplicando logaritmo natural (que é crescente) ou usando a propriedade de exponencial, isso equivale a
x>0.
Portanto, já obtemos uma primeira condição necessária para o domínio: \,x>0.

Passo 3

Analisar o denominador x^{x}. Primeiro, o denominador precisa estar definido como número real e diferente de zero. Uma forma prática de entender x^{x} é escrever
x^{x}=e^{x\ln x},
que exige \ln x definido (no sentido real) — isto é, exige x>0 — para usar essa expressão sem entrar em números complexos. Para x>0 temos:
  • \ln x está definido e real;
  • x^{x}=e^{x\ln x} é então bem definido e positivo;
  • em particular x^{x}\neq0 para x>0 (porque a exponencial nunca é zero).

Passo 4

Verificar candidatos fora de x>0. Poderia existir algum x\le 0 que faça \ln(e^{x}-1) bem definido? Não: da desigualdade do Passo 2, só \,x>0 atende e^{x}-1>0. Logo qualquer x\le 0 está automaticamente excluído do domínio por tornar o logaritmo indefinido. Portanto não é necessário investigar extensões de x^{x} para bases negativas (casos de potências definidas pontualmente), porque o numerador já proíbe x\le 0.

Passo 5

Concluir o domínio usando as condições reunidas. A única condição que resta é x>0. Para todo x>0 tanto \ln\!\left(e^{x}-1\right) quanto x^{x} estão bem definidos (reais) e o denominador é não nulo, logo f(x) está bem definida para todos esses x.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Para x=1: \ln\!\left(e^{1}-1\right) é \ln(e-1) (bem definido) e 1^{1}=1, então f(1) existe.
  • Para x=0: e^{0}-1=0 e \ln(0) é indefinido — portanto x=0 não pertence ao domínio.
  • Para x=-1: e^{-1}-1<0, logo \ln(e^{-1}-1) não existe em \mathbb{R} — excluído.

Resposta

(0,\infty)

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