Determine o domínio das funções
f(x)=raizx-1x^2-3 x+1

Passo 1

A função dada é f(x)=raizdfracx-1x^2-3x+1. O conteúdo aqui é estudo de domínio envolvendo raiz quadrada e fração. Vamos precisar garantir que o termo dentro da raiz seja não negativo e que o denominador não zere.

Passo 2

Para que a expressão dentro da raiz dfracx-1x^2-3x+1 faça sentido em uma raiz, precisamos de
  1. x^2-3x+1neq0 para não termos divisão por zero;
  2. dfracx-1x^2-3x+1>=0 para o radicando ser não negativo.

Passo 3

Começamos encontrando as raízes do denominador x^2-3x+1=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
De
$$
x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$
Portanto, os pontos críticos do denominador são x = 3 pm raiz52 e x=3-raiz52, onde a função não existe.

Passo 4

Agora encontramos a raiz do numerador x-1=0, obtendo x=1. Esse é o ponto onde o radicando pode mudar de sinal ou ficar zero.

Passo 5

Montamos o quadro de sinais da fração dfracx-1x^2-3x+1. Os intervalos críticos são:
(-infty,tfrac3-raiz52), (tfrac3-raiz52,1), (1,tfrac3+raiz52), (tfrac3+raiz52,+infty)
Analisando o sinal de numerador e denominador em cada intervalo, concluímos que a fração é não negativa em
(tfrac3-raiz52,1]cup(tfrac3+raiz52,+infty)

Passo 6

Como nestes intervalos o denominador não anula e o radicando é >=0, esse é o domínio da função.

Resposta

(tfrac3-raiz52,,1];cup;(tfrac3+raiz52,,+infty)

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