Usando o teste da raiz, estudar a convergência da série sumn=2 n^n(ln n)^n.

Passo 1

A questão pede para estudar a convergência da série sumn=2^infty n^n(ln n)^n usando o teste da raiz. O conteúdo aqui é o teste de Cauchy (ou teste da raiz) para séries de termos positivos, e vamos precisar calcular o limite L=limntoinftyraiz[n]an, onde an=n^n(ln n)^n.

Passo 2

O teste da raiz diz que, se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, a série diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da raiz ao nosso termo geral. Temos
raiz[n]an=raiz[n]n^n(ln n)^n=nln n

Passo 4

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftynln n=infty,
pois o numerador cresce muito mais rápido que o denominador logarítmico. Como esse limite é maior que 1, pelo teste da raiz a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o teste da raiz fornece L=infty>1.

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