Usando o teste da raiz, estudar a convergência da série
.
Passo 1
A questão pede para estudar a convergência da série
usando o teste da raiz. O conteúdo aqui é o teste de Cauchy (ou teste da raiz) para séries de termos positivos, e vamos precisar calcular o limite
, onde
.
Passo 2
O teste da raiz diz que, se
, a série converge absolutamente; se
, a série diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da raiz ao nosso termo geral. Temos
Passo 4
Agora calculamos o limite quando
:
pois o numerador cresce muito mais rápido que o denominador logarítmico. Como esse limite é maior que 1, pelo teste da raiz a série diverge.
Resposta
A série diverge, pois o teste da raiz fornece
.