Determine o domínio das funções
f(x)=raiz[4]x^2-6 x-16x^2-12 x+11+2raiz[3]x^2-49

Passo 1

Neste exercício queremos determinar o domínio da função f(x)=raiz[4]x^2-6x-16x^2-12x+11+2raiz[3]x^2-49. O tema é domínio de funções que envolvem raízes e frações. Para resolver, vamos impor as condições de existência (e denominação) de cada termo separadamente e, por fim, intersectar os resultados.

Passo 2

Para o termo de quarta raiz raiz[4]tfracx^2-6x-16x^2-12x+11 sabemos que o radicando deve ser não negativo e o denominador não pode ser zero. Ou seja,
x^2-6x-16x^2-12x+11>=0e x^2-12x+11neq0

Passo 3

Fatorando, temos
x^2-6x-16=(x+2)(x-8), x^2-12x+11=(x-1)(x-11)

Passo 4

Fazendo o estudo de sinal nas regiões definidas por -infty,-2,1,8,11,infty, concluímos que
x^2-6x-16x^2-12x+11>=0iff xin(-infty,-2]cup(1,8]cup(11,infty),sempre excluindo x=1 e x=11 porque anulam o denominador.

Passo 5

Para o termo tfrac2raiz[3]x^2-49, como raiz cúbica admite todo real, só precisamos garantir que o denominador não seja zero:
x^2-49neq0implies xneq7,;xneq-7

Passo 6

Agora intersectamos as duas condições: a primeira exige xin(-infty,-2]cup(1,8]cup(11,infty) e a segunda exclui x=pm7. Portanto, tirando -7 de e tirando 7 de , obtemos o domínio final.

Resposta

((-\infty,-7)\cup(-7,-2]\cup(1,7)\cup(7,8]\cup(11,\infty)

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