Usando o teste da integral, estudar a convergência da série sumn=2 1n(ln n)^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série sumn=2^infty 1n(ln n)^2 usando o teste da integral. O conteúdo envolve séries de termos positivos e o teste que relaciona o comportamento da série com o de uma integral imprópria.

Passo 2

Definir a função a ser testada: seja f(x)=1x(ln x)^2 para x>=2. Observamos que f(x)>0, é contínua em [2,infty) e, derivando, vemos que f'(x)<0, então f é decrescente. Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calcular a integral imprópria associada:
Fazendo a substituição u=ln x, temos du=dxx. Portanto,

E sabemos que

Passo 4

Como essa integral é finita (converge), pelo teste da integral a série sumn=2^infty 1n(ln n)^2 também converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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