Usando o teste da integral, estudar a convergência da série
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo envolve séries de termos positivos e o teste que relaciona o comportamento da série com o de uma integral imprópria.
Passo 2
Definir a função a ser testada: seja
para
. Observamos que
, é contínua em
e, derivando, vemos que
, então
é decrescente. Assim, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calcular a integral imprópria associada:
Fazendo a substituição , temos
. Portanto,
Fazendo a substituição
E sabemos que
Passo 4
Como essa integral é finita (converge), pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).