A função envolve uma raiz quadrada, logo o radicando precisa ser maior ou igual a zero.
Há dois denominadores: x-3 e \left|9-x^{2}\right|. Nenhum deles pode ser zero (caso contrário a expressão não está definida).
Pergunta a responder: para quais valores de x a expressão dentro da raiz é definida e não-negativa? Ou seja, achar o conjunto de todos os x tais que a função está bem definida e real.
Passo 2
Condições obrigatórias antes de analisar sinal do radicando:
x-3\neq0, portanto x\neq3.
\left|9-x^{2}\right|\neq0. Como \left|9-x^{2}\right|=0 exatamente quando 9-x^{2}=0, isto é quando x^{2}=9, devemos excluir x=\pm3. A condição 2 já exclui x=3 e x=-3.
Então pontos proibidos por denominadores: x=3 e x=-3.
Agora a condição principal: o radicando deve satisfazer
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{\left|9-x^{2}\right|}\ge0.
Para resolver essa desigualdade vamos:
dividir a reta real em intervalos onde \left|9-x^{2}\right| tem expressão algébrica fixa,
reescrever o radicando de forma racional (sem módulo) em cada intervalo,
estudar o sinal usando zeros do numerador e zeros dos denominadores (pontos críticos) e montar um quadro de sinais.
Passo 3
Divisão em intervalos conforme o sinal de 9-x^{2}:
Para x<-3: tem-se 9-x^{2}<0, logo \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9.
Para -3<x<3: tem-se 9-x^{2}>0, logo \left|9-x^{2}\right|=9-x^{2}.
Para x>3: tem-se 9-x^{2}<0, logo \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9.
Lembrete rápido sobre \left|\,\cdot\,\right|: \left|A\right|=A se A\ge0 e \left|A\right|=-A se A<0. Aqui aplicamos isso a A=9-x^{2}.
Passo 4
Estudar o intervalo -3<x<3 (onde \left|9-x^{2}\right|=9-x^{2}):
Começamos reescrevendo o radicando:
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{9-x^{2}}.
Observe que 9-x^{2}=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3). Substituindo:
Queremos \dfrac{2x+3}{(x-3)(x+3)}\ge0 com x\neq\pm3 (aqui -3 e 3 já estão fora do intervalo aberto).
Passo 5
Resolver a desigualdade \dfrac{2x+3}{(x-3)(x+3)}\ge0 em -3<x<3:
Zeros e polos: numerador zero em 2x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}. Denominador nulo em x=-3 e x=3 (ambos excluídos).
Para x em (-3,3) nota-se que (x-3)<0 e (x+3)>0, então o denominador (x-3)(x+3) é negativo nessa faixa. Assim o sinal do quociente é o sinal de 2x+3 invertido (porque dividimos por negativo).
A condição \dfrac{2x+3}{(x-3)(x+3)}\ge0 equivale, no intervalo (-3,3), a exigir 2x+3\le0.
Portanto 2x+3\le0\Rightarrow x\le -\tfrac{3}{2}.
Combinando com o intervalo -3<x<3 obtemos a solução parcial
-3<x\le -\tfrac{3}{2}.
O ponto x=-\tfrac{3}{2} é permitido (radicando zero). O ponto x=-3 não é permitido (denominador zero).
Passo 6
Agora estudar o intervalo x<-3 (onde \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9):
O radicando é
Agora analisamos o sinal: para x<-3 temos x-3<0 e x+3<0, então (x-3)(x+3)>0. Portanto \dfrac{3}{(x-3)(x+3)}>0 para todo x<-3. Conclusão: toda a faixa x<-3 satisfaz a desigualdade radicando \ge0 (e não há zeros ou pontos proibidos aí, exceto x=-3 que já excluímos).
Passo 7
Estudar o intervalo x>3 (onde \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9 também):
Repetindo o cálculo do passo anterior (a expressão algébrica foi a mesma),
o radicando é novamente
\frac{3}{(x-3)(x+3)}.
Para x>3 temos x-3>0 e x+3>0, então (x-3)(x+3)>0 e assim \dfrac{3}{(x-3)(x+3)}>0 para todo x>3. Portanto toda a faixa x>3 também satisfaz a desigualdade (lembrando que x=3 está proibido).
Passo 8
Juntando as soluções dos três intervalos:
Para x<-3: tudo vale (exceto x=-3), então temos (-\infty,-3).
Para -3<x<3: a solução foi -3<x\le -\tfrac{3}{2}.
Para x>3: tudo vale (exceto x=3), então temos (3,\infty).
União das partes, lembrando que x=\pm3 são excluídos: