Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{\frac{1}{x-3}-\frac{x}{\left|9-x^{2}\right|}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{1}{x-3}-\frac{x}{\left|9-x^{2}\right|}}.
Informações e perguntas que temos:
  • A função envolve uma raiz quadrada, logo o radicando precisa ser maior ou igual a zero.
  • Há dois denominadores: x-3 e \left|9-x^{2}\right|. Nenhum deles pode ser zero (caso contrário a expressão não está definida).
  • Pergunta a responder: para quais valores de x a expressão dentro da raiz é definida e não-negativa? Ou seja, achar o conjunto de todos os x tais que a função está bem definida e real.

Passo 2

Condições obrigatórias antes de analisar sinal do radicando:
  1. x-3\neq0, portanto x\neq3.
  2. \left|9-x^{2}\right|\neq0. Como \left|9-x^{2}\right|=0 exatamente quando 9-x^{2}=0, isto é quando x^{2}=9, devemos excluir x=\pm3. A condição 2 já exclui x=3 e x=-3.
    Então pontos proibidos por denominadores: x=3 e x=-3.
Agora a condição principal: o radicando deve satisfazer
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{\left|9-x^{2}\right|}\ge0.
Para resolver essa desigualdade vamos:
  • dividir a reta real em intervalos onde \left|9-x^{2}\right| tem expressão algébrica fixa,
  • reescrever o radicando de forma racional (sem módulo) em cada intervalo,
  • estudar o sinal usando zeros do numerador e zeros dos denominadores (pontos críticos) e montar um quadro de sinais.

Passo 3

Divisão em intervalos conforme o sinal de 9-x^{2}:
  • Para x<-3: tem-se 9-x^{2}<0, logo \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9.
  • Para -3<x<3: tem-se 9-x^{2}>0, logo \left|9-x^{2}\right|=9-x^{2}.
  • Para x>3: tem-se 9-x^{2}<0, logo \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9.
Lembrete rápido sobre \left|\,\cdot\,\right|: \left|A\right|=A se A\ge0 e \left|A\right|=-A se A<0. Aqui aplicamos isso a A=9-x^{2}.

Passo 4

Estudar o intervalo -3<x<3 (onde \left|9-x^{2}\right|=9-x^{2}):
Começamos reescrevendo o radicando:
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{9-x^{2}}.
Observe que 9-x^{2}=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3). Substituindo:
\frac{x}{9-x^{2}}=\frac{x}{-(x-3)(x+3)}=-\frac{x}{(x-3)(x+3)}.
Portanto
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{9-x^{2}}=\frac{1}{x-3}+\frac{x}{(x-3)(x+3)}.
Colocando em evidência 1/(x-3):
\frac{1}{x-3}\left(1+\frac{x}{x+3}\right)=\frac{1}{x-3}\cdot\frac{x+3+x}{x+3}=\frac{1}{x-3}\cdot\frac{2x+3}{x+3}.
Logo, para -3<x<3 o radicando é
\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)}.
Queremos \dfrac{2x+3}{(x-3)(x+3)}\ge0 com x\neq\pm3 (aqui -3 e 3 já estão fora do intervalo aberto).

Passo 5

Resolver a desigualdade \dfrac{2x+3}{(x-3)(x+3)}\ge0 em -3<x<3:
  • Zeros e polos: numerador zero em 2x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}. Denominador nulo em x=-3 e x=3 (ambos excluídos).
  • Para x em (-3,3) nota-se que (x-3)<0 e (x+3)>0, então o denominador (x-3)(x+3) é negativo nessa faixa. Assim o sinal do quociente é o sinal de 2x+3 invertido (porque dividimos por negativo).
  • A condição \dfrac{2x+3}{(x-3)(x+3)}\ge0 equivale, no intervalo (-3,3), a exigir 2x+3\le0.
  • Portanto 2x+3\le0\Rightarrow x\le -\tfrac{3}{2}.
  • Combinando com o intervalo -3<x<3 obtemos a solução parcial
-3<x\le -\tfrac{3}{2}.
O ponto x=-\tfrac{3}{2} é permitido (radicando zero). O ponto x=-3 não é permitido (denominador zero).

Passo 6

Agora estudar o intervalo x<-3 (onde \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9):
O radicando é
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{x^{2}-9}.
Note que x^{2}-9=(x-3)(x+3). Assim
\frac{x}{x^{2}-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}
e
\frac{1}{x-3}-\frac{x}{(x-3)(x+3)}=\frac{1}{x-3}\left(1-\frac{x}{x+3}\right) =\frac{1}{x-3}\cdot\frac{x+3-x}{x+3}=\frac{3}{(x-3)(x+3)}.
Logo para x<-3 o radicando reduz-se a
\frac{3}{(x-3)(x+3)}.
Agora analisamos o sinal: para x<-3 temos x-3<0 e x+3<0, então (x-3)(x+3)>0. Portanto \dfrac{3}{(x-3)(x+3)}>0 para todo x<-3. Conclusão: toda a faixa x<-3 satisfaz a desigualdade radicando \ge0 (e não há zeros ou pontos proibidos aí, exceto x=-3 que já excluímos).

Passo 7

Estudar o intervalo x>3 (onde \left|9-x^{2}\right|=x^{2}-9 também):
Repetindo o cálculo do passo anterior (a expressão algébrica foi a mesma),
o radicando é novamente
\frac{3}{(x-3)(x+3)}.
Para x>3 temos x-3>0 e x+3>0, então (x-3)(x+3)>0 e assim \dfrac{3}{(x-3)(x+3)}>0 para todo x>3. Portanto toda a faixa x>3 também satisfaz a desigualdade (lembrando que x=3 está proibido).

Passo 8

Juntando as soluções dos três intervalos:
  • Para x<-3: tudo vale (exceto x=-3), então temos (-\infty,-3).
  • Para -3<x<3: a solução foi -3<x\le -\tfrac{3}{2}.
  • Para x>3: tudo vale (exceto x=3), então temos (3,\infty).
União das partes, lembrando que x=\pm3 são excluídos:
(-\infty,-3)\\ \cup\\ (-3,-\tfrac{3}{2}]\\ \cup\\ (3,\infty).

Resposta

(-\infty,-3)\cup(-3,-\tfrac{3}{2}]\cup(3,\infty)

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