Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{\ln \left(2+|x|-\frac{1}{x-1}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{\ln\!\left(2+|x|-\frac{1}{x-1}\right)}
e pede o domínio de f.
Lista clara do que o enunciado nos dá e pede:
  • A função contém uma raiz quadrada: a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
  • Dentro da raiz há um \ln; para que \ln(\cdot) esteja definido é necessário que o seu argumento seja estritamente positivo.
  • Além disso há uma divisão por x-1, então x\neq 1 (não pode ter divisão por zero).
  • Objetivo: determinar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem todas as restrições acima simultaneamente.

Passo 2

Tradução das restrições matematicamente:
  • Para a raiz: \ln\!\left(2+|x|-\dfrac{1}{x-1}\right)\ge 0.
  • Para o logaritmo: 2+|x|-\dfrac{1}{x-1}>0 (mas essa condição será implicada por \ln(\cdot)\ge0 quando chegarmos no caso de igualdade).
  • A combinação das duas dá, de forma prática, a condição
2+|x|-\frac{1}{x-1}\ge 1
e também x\neq 1. (Explicação: \ln(y)\ge0 equivale a y\ge1; portanto exigimos y=2+|x|-1/(x-1)\ge1.)

Passo 3

Defino a função auxiliar
A(x)=2+|x|-\frac{1}{x-1}.
O domínio procurado é o conjunto de x tais que
A(x)\ge 1\quad\text{e}\quad x\neq 1.
Vou resolver a desigualdade A(x)\ge 1. Reescrevendo:
2+|x|-\frac{1}{x-1}\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|+1-\frac{1}{x-1}\ge 0.

Passo 4

Como há valor absoluto e também x-1 no denominador, trato separadamente os casos x>1 e x<1 (lembrando que x\neq1). Em cada caso substituo |x| por x ou -x conforme apropriado, e tomo cuidado com o sinal ao multiplicar por x-1.
Caso I: x>1. Então |x|=x e x-1>0. A desigualdade fica
x+1-\frac{1}{x-1}\ge 0.
Multiplicando ambos os lados por x-1>0 (não inverte o sinal):
(x+1)(x-1)-1\ge 0.
Calculando:
(x+1)(x-1)-1 = x^2-1-1 = x^2-2.
Logo precisamos de
x^2-2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2\ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge \sqrt{2}\\ \text{ou}\\ x\le -\sqrt{2}.
Mas estamos no caso x>1, então a parte x\le -\sqrt{2} não se aplica. Portanto, do caso x>1 obtemos a solução
x\in [\sqrt{2},+\infty).
(Lembrando que x=1 já foi excluído.)

Passo 5

Caso II: x<1. Aqui x-1<0, o que faz a multiplicação por x-1 inverter o sinal da desigualdade. Ainda precisamos dividir em subcasos para |x|.
Subcaso II.a: 0\le x<1. Então |x|=x e x-1<0. A desigualdade original é a mesma forma
x+1-\frac{1}{x-1}\ge 0.
Multiplicando por x-1<0 inverte-se o sinal:
(x+1)(x-1)-1\le 0.
Como no caso anterior (x+1)(x-1)-1 = x^2-2, obtemos
x^2-2\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2\le 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}.
Intersecionando com 0\le x<1 dá que todo o intervalo 0\le x<1 satisfaz a desigualdade (pois 0\le x<1 está contido em [-\sqrt{2},\sqrt{2}]). Então todo x em [0,1) é válido.
Subcaso II.b: x<0. Aqui |x|=-x e x-1<0. A desigualdade torna-se
-x+1-\frac{1}{x-1}\ge 0.
Multiplicando por x-1<0 inverte o sinal:
(-x+1)(x-1)-1\le 0.
Note que -x+1=-(x-1), então
(-x+1)(x-1) = -(x-1)^2.
Logo a condição é
-(x-1)^2 -1 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -(x-1)^2 \le 1.
Mas -(x-1)^2\le 0 sempre, e portanto -(x-1)^2\le 1 é sempre verdadeira para todo x. Assim, todo x<0 satisfaz a desigualdade original. Conclusão: todo o intervalo (-\infty,0) é válido.

Passo 6

Juntando os resultados dos subcasos em x<1:
  • de II.b tivemos (-\infty,0) válido;
  • de II.a tivemos [0,1) válido;
    portanto todo (-\infty,1) satisfaz A(x)\ge 1.
Do caso x>1 obtivemos [\sqrt{2},+\infty).
Não podemos incluir x=1 porque aí há divisão por zero. Portanto o domínio da função é a união
(-\infty,1)\cup [\sqrt{2},+\infty).

Passo 7

Verificação rápida com pontos de teste para ganhar confiança:
  • x=0{,}5\in(-\infty,1): A(0{,}5)=2+0{,}5-\dfrac{1}{-0{,}5}=2{,}5+2=4{,}5\ge1 → ok.
  • x=2\in[\sqrt{2},\infty): A(2)=2+2-\dfrac{1}{1}=4-1=3\ge1 → ok.
  • x=1{,}2 (entre 1 e \sqrt{2}): A(1{,}2)=2+1{,}2-\dfrac{1}{0{,}2}=3{,}2-5=-1{,}8<1 → não permitido, consistente com a solução.

Resposta

(-\infty,1)\cup [\sqrt{2},+\infty)

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