Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio de
.
Lista clara do que o enunciado nos dá e pede:
- A função contém uma raiz quadrada: a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
- Dentro da raiz há um
; para que esteja definido é necessário que o seu argumento seja estritamente positivo. - Além disso há uma divisão por
, então (não pode ter divisão por zero). - Objetivo: determinar todos os
que satisfazem todas as restrições acima simultaneamente.
Passo 2
Tradução das restrições matematicamente:
- Para a raiz:
. - Para o logaritmo:
(mas essa condição será implicada por quando chegarmos no caso de igualdade). - A combinação das duas dá, de forma prática, a condição
e também
. (Explicação:
equivale a
; portanto exigimos
.)
Passo 3
Defino a função auxiliar
O domínio procurado é o conjunto de
tais que
Vou resolver a desigualdade
. Reescrevendo:
Passo 4
Como há valor absoluto e também
no denominador, trato separadamente os casos
e
(lembrando que
). Em cada caso substituo
por
ou
conforme apropriado, e tomo cuidado com o sinal ao multiplicar por
.
Caso I:
. Então
e
. A desigualdade fica
Multiplicando ambos os lados por
(não inverte o sinal):
Calculando:
Logo precisamos de
Mas estamos no caso
, então a parte
não se aplica. Portanto, do caso
obtemos a solução
(Lembrando que
já foi excluído.)
Passo 5
Caso II:
. Aqui
, o que faz a multiplicação por
inverter o sinal da desigualdade. Ainda precisamos dividir em subcasos para
.
Subcaso II.a:
. Então
e
. A desigualdade original é a mesma forma
Multiplicando por
inverte-se o sinal:
Como no caso anterior
, obtemos
Intersecionando com
dá que todo o intervalo
satisfaz a desigualdade (pois
está contido em
). Então todo
em
é válido.
Subcaso II.b:
. Aqui
e
. A desigualdade torna-se
Multiplicando por
inverte o sinal:
Note que
, então
Logo a condição é
Mas
sempre, e portanto
é sempre verdadeira para todo
. Assim, todo
satisfaz a desigualdade original. Conclusão: todo o intervalo
é válido.
Passo 6
Juntando os resultados dos subcasos em
:
- de II.b tivemos
válido; - de II.a tivemos
válido;
portanto todosatisfaz .
Do caso
obtivemos
.
Não podemos incluir
porque aí há divisão por zero. Portanto o domínio da função é a união
Passo 7
Verificação rápida com pontos de teste para ganhar confiança:
-
: → ok. -
: → ok. -
(entre 1 e ): → não permitido, consistente com a solução.