Determine o domínio das funções:
f(x)=\frac{\sqrt{e^{5 x-1}-1}}{\ln (1-|2 x-5|)}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o domínio da função”
f(x)=\frac{\sqrt{e^{5 x-1}-1}}{\ln\bigl(1-|2 x-5|\bigr)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt{e^{5x-1}-1}, ou seja, há uma raiz quadrada cujo radicando é e^{5x-1}-1.
  • O denominador é \ln\bigl(1-|2x-5|\bigr), ou seja, há um logaritmo natural com argumento 1-|2x-5| e esse logaritmo está no denominador.
  • Há um valor absoluto |2x-5| dentro do argumento do logaritmo.

Passo 2

Condição imposta pela raiz quadrada (numerador): o radicando deve ser não negativo.
e^{5x-1}-1 \ge 0.
Explicação didática: a raiz quadrada real \sqrt{A} está definida apenas quando A\ge 0. Aqui A=e^{5x-1}-1. Vamos resolver a desigualdade:
e^{5x-1}-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{5x-1} \ge 1.
Propriedade usada: a função exponencial t\mapsto e^{t} é estritamente crescente e positiva para todo t. Portanto e^{t}\ge 1 acontece exatamente quando t\ge 0. Aplicando isso:
5x-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge \tfrac{1}{5}.

Passo 3

Condição imposta pelo logaritmo (argumento): o argumento do \ln deve ser estritamente positivo.
1-|2x-5|>0.
Explicação didática: o logaritmo natural \ln(y) está definido apenas para y>0. Assim precisamos 1-|2x-5|>0, ou seja
|2x-5|<1.
Agora resolvemos a desigualdade com valor absoluto. Definição e método: |u|<a (com a>0) equivale a -a<u<a. Aqui u=2x-5 e a=1, então
-1<2x-5<1.
Somando 5 em todos os termos:
4<2x<6.
Dividindo por 2:
2<x<3.
Portanto a condição do logaritmo exige x\in(2,3).

Passo 4

Condição imposta pelo fato de o logaritmo estar no denominador: o valor do logaritmo não pode ser zero (denominador não pode ser zero).
\ln\bigl(1-|2x-5|\bigr)\neq 0.
Isso equivale a exigir que o argumento do \ln não seja 1, pois \ln(1)=0. Então
1-|2x-5|\neq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |2x-5|\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-5\neq 0.
Portanto
x\neq \tfrac{5}{2}.
Comentário: o ponto x=\tfrac{5}{2}=2{,}5 faz com que 1-|2x-5|=1 e daí \ln(1)=0, o que tornaria o denominador zero — proibido.

Passo 5

Agora fazemos a interseção de todas as condições obtidas:
  • Da raiz: x\ge \tfrac{1}{5}.
  • Do \ln (domínio): x\in(2,3).
  • Do denominador não nulo: x\neq \tfrac{5}{2}.
Interseção: [\,\tfrac{1}{5},\infty)\cap(2,3)=(2,3), porque 2>\tfrac{1}{5}. Portanto ainda precisamos excluir x=\tfrac{5}{2} do intervalo (2,3). Assim o conjunto final de pontos permitidos é
(2,3)\setminus\{\tfrac{5}{2}\}.

Passo 6

Escrevendo o domínio em forma de união de intervalos (forma mais prática para a prova):
(2,\tfrac{5}{2})\cup(\tfrac{5}{2},3).
Verificações rápidas (sanity check): para qualquer x nesses intervalos temos 2<x<3 (logo |2x-5|<1 e o argumento do \ln é positivo e diferente de 1), e também x>\tfrac{1}{5} (logo e^{5x-1}\ge1 e a raiz está bem definida). Os pontos x=2, x=3 e x=\tfrac{5}{2} não pertencem ao domínio por causarem \ln(0) (para x=2 ou x=3) ou \ln(1)=0 (para x=\tfrac{5}{2}).

Resposta

(2,\tfrac{5}{2})\cup(\tfrac{5}{2},3)

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