Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o domínio da função”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é
, ou seja, há uma raiz quadrada cujo radicando é . - O denominador é
, ou seja, há um logaritmo natural com argumento e esse logaritmo está no denominador. - Há um valor absoluto
dentro do argumento do logaritmo.
Passo 2
Condição imposta pela raiz quadrada (numerador): o radicando deve ser não negativo.
Explicação didática: a raiz quadrada real
está definida apenas quando
. Aqui
. Vamos resolver a desigualdade:
Propriedade usada: a função exponencial
é estritamente crescente e positiva para todo
. Portanto
acontece exatamente quando
. Aplicando isso:
Passo 3
Condição imposta pelo logaritmo (argumento): o argumento do
deve ser estritamente positivo.
Explicação didática: o logaritmo natural
está definido apenas para
. Assim precisamos
, ou seja
Agora resolvemos a desigualdade com valor absoluto. Definição e método:
(com
) equivale a
. Aqui
e
, então
Somando
em todos os termos:
Dividindo por
:
Portanto a condição do logaritmo exige
.
Passo 4
Condição imposta pelo fato de o logaritmo estar no denominador: o valor do logaritmo não pode ser zero (denominador não pode ser zero).
Isso equivale a exigir que o argumento do
não seja
, pois
. Então
Portanto
Comentário: o ponto
faz com que
e daí
, o que tornaria o denominador zero — proibido.
Passo 5
Agora fazemos a interseção de todas as condições obtidas:
- Da raiz:
. - Do
(domínio): . - Do denominador não nulo:
.
Interseção:
, porque
. Portanto ainda precisamos excluir
do intervalo
. Assim o conjunto final de pontos permitidos é
Passo 6
Escrevendo o domínio em forma de união de intervalos (forma mais prática para a prova):
Verificações rápidas (sanity check): para qualquer
nesses intervalos temos
(logo
e o argumento do
é positivo e diferente de
), e também
(logo
e a raiz está bem definida). Os pontos
,
e
não pertencem ao domínio por causarem
(para
ou
) ou
(para
).