Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
f(x)=\frac{1}{x-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o domínio da função f definida por
f(x)=\frac{1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão da função é \frac{1}{x-1}.
  • A tarefa é indicar todos os valores de x (no conjunto dos números reais) para os quais f(x) está bem definida.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • O domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está definida) como número real.
  • Operações básicas que podem causar problemas: divisão (não pode dividir por zero), radiciação de índice par (radicando deve ser \ge 0), logaritmos (argumento deve ser >0), etc.
  • No caso de \dfrac{1}{x-1} o único potencial problema é a divisão por zero. Portanto precisamos garantir que o denominador não seja zero.

Passo 3

Identificar o denominador e exigir que ele não seja zero.
  • O denominador é x-1.
  • A condição que impede a divisão por zero é
x-1 \neq 0.

Passo 4

Resolver a inequação x-1 \neq 0 de forma clara.
  • Primeiro achamos quando x-1=0:
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
  • Como x=1 torna o denominador zero, esse valor deve ser excluído do domínio.
  • Portanto todos os demais números reais são permitidos.

Passo 5

Escrever o domínio em notação usual (conjunto e intervalos).
  • Em notação de conjunto:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Em notação de intervalos:
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).

Passo 6

Pequena verificação e dica para a prova (didática e incentivo).
  • Verificação rápida: f(0)=\dfrac{1}{0-1}=-1 (ok); f(2)=\dfrac{1}{2-1}=1 (ok); f(1) não existe porque daria \dfrac{1}{0}, indefinido.
  • Dica prática para outras funções na prova: sempre procure por denominadores, expressões dentro de radicais de índice par, e argumentos de logaritmos — esses são os pontos que normalmente anulam ou invalidam valores no domínio. Vai dar certo, respira fundo e revisa esses casos.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\} = (-\infty,1)\cup(1,\infty)

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