Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
g(x)=\sqrt[3]{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
g(x)=\sqrt[3]{x^{2}-x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a raiz de índice 3 (ou raiz cúbica) aplicada ao radicando x^{2}-x.
  • O radicando é a expressão polinomial x^{2}-x.

Passo 2

Entender o que significa domínio aqui (pequena aulinha prática): o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (tem valor real).
Regras importantes sobre radicais que vou usar:
  • Para uma raiz de índice par (por exemplo, raiz quadrada \sqrt{\;\;}, índice 2), o radicando tem de ser maior ou igual a zero: só faz sentido em números reais se o radicando satisfizer \text{radicando} \ge 0.
  • Para uma raiz de índice ímpar (por exemplo, raiz cúbica \sqrt[3]{\;\;}, índice 3), a raiz de qualquer número real existe e é real. Ou seja, não há restrição no sinal do radicando: o radicando pode ser negativo, zero ou positivo.
Isso decorre do fato de que números negativos têm raiz cúbica real (por exemplo, \sqrt[3]{-8}=-2), enquanto não têm raiz quadrada real.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o índice é 3 (ímpar), portanto não há restrição de sinal sobre o radicando x^{2}-x. Ainda assim, preciso verificar se o radicando está definido para todos os x.
O radicando é um polinômio:
x^{2}-x = x(x-1),
e polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Não existe divisão por zero, logaritmo, ou outra operação perigosa aqui — é só multiplicação e soma.
Portanto, para qualquer x\in\mathbb{R} o número x^{2}-x é um real, e como a raiz cúbica de qualquer real existe, a expressão \sqrt[3]{x^{2}-x} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para fixar a ideia com exemplos simples (mostrando que radicando negativo não é problema):
  • Se x=0 então x^{2}-x=0 e \sqrt[3]{0}=0.
  • Se x=1 então x^{2}-x=0 e \sqrt[3]{0}=0.
  • Se x=-1 então x^{2}-x=1-(-1)=2 e \sqrt[3]{2} existe.
  • Se x=\tfrac{1}{2} então x^{2}-x=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4} e \sqrt[3]{-\tfrac{1}{4}} existe e é negativo.
Esses exemplos confirmam que não há x proibido.

Resposta

\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)

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