Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações relevantes dadas:
- A função é a raiz de índice
(ou raiz cúbica) aplicada ao radicando . - O radicando é a expressão polinomial
.
Passo 2
Entender o que significa domínio aqui (pequena aulinha prática): o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (tem valor real).
Regras importantes sobre radicais que vou usar:
- Para uma raiz de índice par (por exemplo, raiz quadrada
, índice ), o radicando tem de ser maior ou igual a zero: só faz sentido em números reais se o radicando satisfizer . - Para uma raiz de índice ímpar (por exemplo, raiz cúbica
, índice ), a raiz de qualquer número real existe e é real. Ou seja, não há restrição no sinal do radicando: o radicando pode ser negativo, zero ou positivo.
Isso decorre do fato de que números negativos têm raiz cúbica real (por exemplo,
), enquanto não têm raiz quadrada real.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: o índice é
(ímpar), portanto não há restrição de sinal sobre o radicando
. Ainda assim, preciso verificar se o radicando está definido para todos os
.
O radicando é um polinômio:
e polinômios estão definidos para todo
. Não existe divisão por zero, logaritmo, ou outra operação perigosa aqui — é só multiplicação e soma.
Portanto, para qualquer
o número
é um real, e como a raiz cúbica de qualquer real existe, a expressão
está bem definida para todo
.
Passo 4
Para fixar a ideia com exemplos simples (mostrando que radicando negativo não é problema):
- Se
então e . - Se
então e . - Se
então e existe. - Se
então e existe e é negativo.
Esses exemplos confirmam que não há
proibido.