Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
g(x)=\frac{x+2}{\sqrt{(x+1)(x-3)}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
g(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{(x+1)(x-3)}}.
Como há uma raiz quadrada no denominador, precisamos que o que estiver dentro da raiz seja estritamente positivo (para não dar raiz de número negativo nem zero no denominador).

Passo 2

A condição para o argumento da raiz é
(x+1)(x-3)>0.

Passo 3

Para resolver (x+1)(x-3)>0, identificamos as raízes da expressão:
x=-1 e x=3.
Elas dividem a reta em três intervalos:
-\infty<x<-1, -1<x<3 e x>3.

Passo 4

Escolhemos um ponto em cada intervalo e verificamos o sinal de (x+1)(x-3):
Para x<-1, por exemplo x=-2:
(-2+1)(-2-3)=(\! -1) \cdot (\! -5)=5>0.
Para -1<x<3, por exemplo x=0:
(0+1)(0-3)=1 \cdot (\! -3)=-3<0.
Para x>3, por exemplo x=4:
(4+1)(4-3)=5 \cdot 1=5>0.

Passo 5

A inequação só é satisfeita em x<-1 ou em x>3.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(3,\infty)

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