A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite:
lim x +infty(raizx^2+x-x) & =lim x +infty(raizx^2(1+1x)-x) & =lim x +infty x(underbraceraiz1+underbrace1x 0-1) 0=lim x +infty(x cdot 0)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+infty(raizx^2+x-x). O conteúdo é limites de indeterminação do tipo infty-infty, e vamos precisar de manipulação algébrica para eliminar essa forma indeterminada.

Passo 2

Na resolução original, o erro está em aproximar raiz1+1/x-1 por 0 antes de multiplicar por x. Embora raiz1+1/x-1to0, não dá para simplesmente usar xcdot0=0 sem saber a taxa de decaimento desse termo.
Quando temos um produto do tipo xcdot(coisato0), isso é uma indeterminação inftycdot0. Para resolver, precisamos de mais precisão nessa “coisa” que tende a zero. A técnica clássica é a racionalização usando o conjugado.

Passo 3

Vamos racionalizar:[
(\sqrt{x2+x}-x)\cdot\frac{\sqrt{x2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}
=\frac{(\sqrt{x2+x})2-x2}{\sqrt{x2+x}+x}
=\frac{x2+x-x2}{\sqrt{x^2+x}+x}
=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}

Passo 4

Agora fatoramos x^2 dentro da raiz para escrever em termos de 1+1/x:[
\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}+x}
=\frac{x}{x\sqrt{1+1/x}+x}
=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando xto+infty: como 1/xto0, temos raiz1+1/xto1. Assim,
limxto+infty1raiz1+1/x+1 = 11+1 = 12

Resposta

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