Usando o teste da razão, estudar a convergência da série sumn=1 ln (n!)n!.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty ln(n!)n! usando o teste da razão. Vamos usar a definição do teste da razão: se L = limntoinfty |an+1an|, então a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 2

Definimos an = ln(n!)n!. Então
an+1an = ln((n+1)!)(n+1)! cdot n!ln(n!) = ln(n!)+ln(n+1)(n+1),ln(n!)

Passo 3

Agora separamos em dois termos:
ln(n!)(n+1),ln(n!) + ln(n+1)(n+1),ln(n!) = 1n+1 + ln(n+1)(n+1),ln(n!)

Passo 4

Para ntoinfty temos 1/(n+1)to0. Além disso, ln(n!)sim nln n cresce bem mais rápido que ln(n+1), então
ln(n+1)(n+1),ln(n!)simln nn^2ln n,=1n^2to0

Passo 5

Logo
L=limntoinftyan+1an=0<1

Passo 6

Pelo teste da razão, como o limite L<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, pois o limite da razão é zero (menor que 1).

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