Determine o domínio das funções a seguir:
f(x)=\frac{x^{4}}{6-x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{x^{4}}{6-x} e pede o domínio dela. Ou seja: precisamos listar todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (está bem definida) — nem mais, nem menos.

Passo 2

O que significa “fazer sentido” aqui? Para funções escritas como uma fração, a única causa possível de “não fazer sentido” é dividir por zero. Então o domínio será o conjunto de todos os números reais exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero. Vou explicar isso devagar: divisão por zero é indefinida; por exemplo, 1\div0 não tem valor finito bem definido, logo qualquer x que torne o denominador igual a zero deve ser excluído do domínio.

Passo 3

Olharemos separadamente numerador e denominador. O numerador é x^{4}. Isso é um polinômio. Propriedade importante: polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Então o numerador não causa nenhuma restrição ao domínio — qualquer número real serve para o numerador.

Passo 4

O denominador é 6-x. Aqui é que pode haver problema: não podemos ter 6-x=0. Portanto precisamos exigir
6-x \neq 0.
Esse é o único requisito para que a fração exista.

Passo 5

Vamos resolver a equação que gera a proibição, passo a passo:
6-x=0
Somamos x em ambos os lados:
6 = x.
Assim, x=6 é exatamente o valor que torna o denominador zero e, portanto, deve ser excluído do domínio.

Passo 6

Conclusão: o domínio é "todos os números reais, exceto 6". Em notações usuais isso pode ser escrito de duas formas equivalentes úteis:
  • notação em conjunto: \mathbb{R}\setminus\{6\},
  • notação por intervalos: (-\infty,6)\cup(6,\infty).

Passo 7

Cheque rápido para ganhar confiança: escolha x=0. Então f(0)=\frac{0^{4}}{6-0}=0, tudo bem. Agora x=6: f(6)=\frac{6^{4}}{6-6}=\frac{1296}{0}, isto não é permitido. Então realmente só precisamos excluir 6.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{6\}
(-\infty,6)\cup(6,\infty)

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