Determine o domínio das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dela. Ou seja: precisamos listar todos os valores de
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida) — nem mais, nem menos.
Passo 2
O que significa “fazer sentido” aqui? Para funções escritas como uma fração, a única causa possível de “não fazer sentido” é dividir por zero. Então o domínio será o conjunto de todos os números reais exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero. Vou explicar isso devagar: divisão por zero é indefinida; por exemplo,
não tem valor finito bem definido, logo qualquer
que torne o denominador igual a zero deve ser excluído do domínio.
Passo 3
Olharemos separadamente numerador e denominador. O numerador é
. Isso é um polinômio. Propriedade importante: polinômios estão definidos para todo
. Então o numerador não causa nenhuma restrição ao domínio — qualquer número real serve para o numerador.
Passo 4
O denominador é
. Aqui é que pode haver problema: não podemos ter
. Portanto precisamos exigir
Esse é o único requisito para que a fração exista.
Passo 5
Vamos resolver a equação que gera a proibição, passo a passo:
Somamos
em ambos os lados:
Assim,
é exatamente o valor que torna o denominador zero e, portanto, deve ser excluído do domínio.
Passo 6
Conclusão: o domínio é "todos os números reais, exceto
". Em notações usuais isso pode ser escrito de duas formas equivalentes úteis:
- notação em conjunto:
, - notação por intervalos:
.
Passo 7
Cheque rápido para ganhar confiança: escolha
. Então
, tudo bem. Agora
:
, isto não é permitido. Então realmente só precisamos excluir
.