Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
f(x)=-3-x

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f dada: o domínio, a imagem e um esboço do gráfico. A função fornecida é
f(x) = -3 - x.
Informações relevantes do enunciado: a expressão algebraica da função é -3-x, ou seja, para cada x ela associa o número -3-x.

Passo 2

Entendendo o que pediram (pequena aula):
  • Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido. Para expressões polinomiais ou afins (somas e multiplicações de x sem raízes pares ou divisões por x), todos os reais estão permitidos.
  • Imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de valores y que a função realmente assume quando x varia pelo domínio. Para mostrar que a imagem é todos os reais, normalmente resolvemos y=f(x) para x em termos de y e mostramos que, para qualquer y real, existe um x real que produz esse y.
  • Para esboçar o gráfico de uma função linear/afim da forma y=mx+b usamos: coeficiente angular m (inclinação) e coeficiente linear b (interseção com o eixo y). Dois pontos bastam para traçar a reta.

Passo 3

Reescrevendo a função na forma padrão de reta:
f(x) = -3 - x = -x - 3.
Aqui já aparece a forma y = mx + b com m = -1 e b = -3.

Passo 4

Determinação do domínio:
Como a expressão -x-3 é definida para todo x\in\mathbb{R} (não há divisões por zero nem radicais de índice par com expressão negativa), o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Cálculo de pontos-chave (isso ajuda a esboçar o gráfico):
  • Intercepto com o eixo y (tomando x=0):
f(0) = -0 - 3 = -3,
portanto o ponto (0,-3).
  • Intercepto com o eixo x (resolver f(x)=0):
0 = -x - 3 \quad\Rightarrow\quad -x = 3 \quad\Rightarrow\quad x = -3,
portanto o ponto (-3,0).
  • Mais alguns pontos para segurança: para x=1, f(1) = -1 - 3 = -4 dando (1,-4). Para x=-1, f(-1)=1-3=-2 dando (-1,-2).

Passo 6

Interpretação da inclinação e comportamento da reta:
O coeficiente angular é -1. Isso significa que ao percorrer 1 unidade para a direita no eixo x o valor de y desce 1 unidade; a reta é decrescente e tem inclinação negativa. Como a reta não é horizontal ( m\neq0), ela é bijetora entre \mathbb{R} e \mathbb{R}, o que reforça que a imagem é todo o conjunto dos reais.

Passo 7

Determinação da imagem com argumento algébrico (mostrar que qualquer valor y é atingido):
Comece por escrever y=f(x):
y = -x - 3.
Resolva em x:
-x = y + 3 \quad\Rightarrow\quad x = -y - 3.
Para qualquer y\in\mathbb{R} a expressão x = -y - 3 fornece um x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Logo a imagem é
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo-a-passo prático que você pode usar na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto de interseção com y: (0,-3).
  3. Marque o ponto de interseção com x: (-3,0).
  4. Trace a reta que passa por esses dois pontos; ela é a reta inteira de equação \;y=-x-3\;.
  5. Verifique a inclinação: subindo de (-3,0) para (-2,1) (um passo à direita resulta em descer 1), ou indo de (0,-3) para (1,-4). A reta é decrescente com inclinação -1.
Um esboço rápido (aproximado) no plano cartesiano:
  • marque (0,-3) no eixo y e (-3,0) no eixo x; ligando-os você obtém a reta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Esboço (descrição): reta de equação \;y=-x-3\; com inclinação -1, passando por (0,-3) e por (-3,0).

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