Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
dada: o domínio, a imagem e um esboço do gráfico. A função fornecida é
Informações relevantes do enunciado: a expressão algebraica da função é
, ou seja, para cada
ela associa o número
.
Passo 2
Entendendo o que pediram (pequena aula):
- Domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido. Para expressões polinomiais ou afins (somas e multiplicações de sem raízes pares ou divisões por ), todos os reais estão permitidos. - Imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de valores
que a função realmente assume quando varia pelo domínio. Para mostrar que a imagem é todos os reais, normalmente resolvemos para em termos de e mostramos que, para qualquer real, existe um real que produz esse . - Para esboçar o gráfico de uma função linear/afim da forma
usamos: coeficiente angular (inclinação) e coeficiente linear (interseção com o eixo ). Dois pontos bastam para traçar a reta.
Passo 3
Reescrevendo a função na forma padrão de reta:
Aqui já aparece a forma
com
e
.
Passo 4
Determinação do domínio:
Como a expressão é definida para todo
(não há divisões por zero nem radicais de índice par com expressão negativa), o domínio é
Como a expressão
Passo 5
Cálculo de pontos-chave (isso ajuda a esboçar o gráfico):
- Intercepto com o eixo
(tomando ):
portanto o ponto
.
- Intercepto com o eixo
(resolver ):
portanto o ponto
.
- Mais alguns pontos para segurança: para
, dando . Para , dando .
Passo 6
Interpretação da inclinação e comportamento da reta:
O coeficiente angular é . Isso significa que ao percorrer 1 unidade para a direita no eixo
o valor de
desce 1 unidade; a reta é decrescente e tem inclinação negativa. Como a reta não é horizontal (
), ela é bijetora entre
e
, o que reforça que a imagem é todo o conjunto dos reais.
O coeficiente angular é
Passo 7
Determinação da imagem com argumento algébrico (mostrar que qualquer valor
é atingido):
Comece por escrever :
Comece por escrever
Resolva em
:
Para qualquer
a expressão
fornece um
tal que
. Logo a imagem é
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo-a-passo prático que você pode usar na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto de interseção com
: . - Marque o ponto de interseção com
: . - Trace a reta que passa por esses dois pontos; ela é a reta inteira de equação
. - Verifique a inclinação: subindo de
para (um passo à direita resulta em descer 1), ou indo de para . A reta é decrescente com inclinação .
Um esboço rápido (aproximado) no plano cartesiano:
- marque
no eixo e no eixo ; ligando-os você obtém a reta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço (descrição): reta de equação com inclinação
, passando por
e por
.
Imagem:
Esboço (descrição): reta de equação