Determine o domínio das funções a seguir:
f(x)=\sqrt{5 x-9}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função dada. A informação fornecida é:
f(x)=\sqrt{5x-9}.
Queremos encontrar todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão acima está bem definida (ou seja, o conjunto de valores de x para os quais f(x) é um número real).

Passo 2

Entendendo a condição para a raiz quadrada: para que a raiz quadrada de um número real exista (no conjunto dos reais), o radicando precisa ser não negativo. Ou seja, devemos exigir que
5x-9 \ge 0.
Isto é a condição necessária e suficiente para que \sqrt{5x-9} seja um número real.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade passo a passo. Começamos com
5x-9 \ge 0.
Somamos 9 em ambos os lados para isolar o termo com x:
5x \ge 9.
Agora dividimos ambos os lados por 5. Como estamos dividindo por um número positivo, a desigualdade não muda de sinal:
x \ge \frac{9}{5}.
Observação: se tivéssemos dividido por um número negativo, teríamos que inverter a desigualdade — aqui não é o caso.

Passo 4

Interpretando o resultado: a desigualdade x \ge \frac{9}{5} significa que todos os números reais maiores ou iguais a \frac{9}{5} fazem com que o radicando seja não negativo, logo a função esteja definida.
Em notação de conjuntos e em notação de intervalos, o domínio fica:
\operatorname{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge\frac{9}{5}\}=\left[\frac{9}{5},+\infty\right).

Passo 5

Vamos testar valores para ganhar confiança:
\text{Se }x=2,\;5x-9=10-9=1\ge0\Rightarrow f(2)=\sqrt{1}=1 \;(\text{ok}).
\text{Se }x=1,\;5x-9=5-9=-4<0\Rightarrow f(1)=\sqrt{-4}\notin\mathbb{R}\;(\text{não permitido}).ã
Isso confirma que valores menores que \frac{9}{5} não pertencem ao domínio, e valores maiores ou iguais pertencem.

Resposta

\left[\dfrac{9}{5},+\infty\right)
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge\dfrac{9}{5}\}

Exercícios relacionados