Questão 1: Dado os intervalos
, determine:
Passo 1
O enunciado dá dois intervalos e pede a união deles. Informações fornecidas:
\n
\n
-
— intervalo que vai de até , com excluído e incluído.
\n -
— intervalo que vai de até , com incluído e excluído.
\n
Pergunta: determinar(a união dos conjuntos e ).
Passo 2
Definição útil (se prepara que é simples): a união de dois conjuntos é o conjunto de pontos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Em símbolos:
\n
No caso de intervalos na reta, se os intervalos se sobrepõem (ou se tocam), a união é um único intervalo que começa no menor dos extremos à esquerda e termina no maior dos extremos à direita; a inclusão do extremo esquerdo ou direito na união depende se esse extremo é incluído em pelo menos um dos intervalos originais.
No caso de intervalos na reta, se os intervalos se sobrepõem (ou se tocam), a união é um único intervalo que começa no menor dos extremos à esquerda e termina no maior dos extremos à direita; a inclusão do extremo esquerdo ou direito na união depende se esse extremo é incluído em pelo menos um dos intervalos originais.
Passo 3
Verificar se
e
se sobrepõem (ou se tocam). Observação simples:
\n
\n
- O intervalo
vai até (incluindo ).
\n - O intervalo
começa em (incluindo ).
\n
Como, existe interseção: por exemplo, e (pois ). Portanto e se sobrepõem — isso significa que a união será um único intervalo contínuo.
Passo 4
Determinar os extremos do intervalo união:
\n
\n
- Extremidade à esquerda: o menor extremo é
(de ). Como não pertence a (intervalo aberto em ) e não pertence a , a união também não conterá . Logo a união é aberta à esquerda em .
\n - Extremidade à direita: o maior extremo é
(de ). Como não pertence a (intervalo aberto em ) e também não pertence a , a união é aberta à direita em .
\n
Assim, o intervalo que vai deaté com ambos os extremos excluídos descreve corretamente todos os pontos que estão em ou em .
Passo 5
Concluir e checar rapidamente: qualquer
tal que
pertence a
ou a
(se estiver em
pertence a
; se estiver em
pertence a
). E nenhum dos extremos
ou
pertence à união. Portanto a união é exatamente o intervalo
.