Determine o domínio das funções a seguir:
f(x)=x^3-3 x^2-4 x+12x^2-x-6

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função racional f(x)= x^3-3x^2-4x+12x^2-x-6. Isso é conteúdo de domínio de funções racionais, onde precisamos achar para quais x o denominador não zera.
Para função racional f(x)=N(x)D(x), o domínio é R excluindo as raízes de D(x)=0. Aqui D(x)=x^2-x-6.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador:
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Logo, D(x)=0 em x=3 e x=-2, que devem ser excluídos do domínio.

Passo 3

Agora fatoramos o numerador N(x)=x^3-3x^2-4x+12. Podemos usar divisão sintética por x=3 (ou agrupamento):
x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x-2)(x+2)

Passo 4

Substituindo na função temos
f(x)=(x-3)(x-2)(x+2)(x-3)(x+2)
Podemos cancelar x-3, ficando
f(x)=x^2-4x+2=(x-2)
porém ainda não podemos usar x=3 nem x=-2 pois nesses pontos o denominador original anula.

Passo 5

Concluindo, o domínio é todos os reais exceto x=3 e x=-2.

Resposta

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