Determine o domínio das funções vetoriais.
r(t)=(raiz25-t^2, e^t, ln (t+1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinar o domínio da função vetorial r(t) = (raiz25 - t^2, e^t, ln(t + 1)) . O conteúdo aqui envolve entender como encontrar o domínio de funções compostas, usando conceitos de raízes quadradas, exponenciais e logaritmos. Vamos precisar analisar cada componente da função para ver onde elas estão definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: raiz25 - t^2 . A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
25 - t^2 >= 0
Isso significa que:
t^2 <= 25
E, ao resolver essa desigualdade, encontramos que:
-5 <= t <= 5
Então, para essa parte da função, t deve estar entre -5 e 5.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: e^t . A função exponencial é bem tranquila, ela está definida para todos os números reais. Não tem restrição aqui, ou seja, t pode ser qualquer número.

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: ln(t + 1) . O logaritmo natural só está definido quando o que está dentro dele é maior que zero. Então, precisamos que:
t + 1 > 0
Resolvendo essa desigualdade:
t > -1
Portanto, para essa parte da função, t deve ser maior que -1.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
  • Da primeira componente: -5 <= t <= 5
  • Da terceira componente: t > -1
A interseção dessas duas condições é onde ambas são verdadeiras ao mesmo tempo. Isso significa que t precisa ser maior que -1 e também menor ou igual a 5.

Resposta

O domínio da função vetorial é -1 < t <= 5 .

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