Determine o domínio das funções vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinar o domínio da função vetorial
. O conteúdo aqui envolve entender como encontrar o domínio de funções compostas, usando conceitos de raízes quadradas, exponenciais e logaritmos. Vamos precisar analisar cada componente da função para ver onde elas estão definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Isso significa que:
E, ao resolver essa desigualdade, encontramos que:
Então, para essa parte da função,
deve estar entre -5 e 5.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A função exponencial é bem tranquila, ela está definida para todos os números reais. Não tem restrição aqui, ou seja,
pode ser qualquer número.
Passo 4
Por último, temos a terceira componente:
. O logaritmo natural só está definido quando o que está dentro dele é maior que zero. Então, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, para essa parte da função,
deve ser maior que -1.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
- Da primeira componente:
- Da terceira componente:
A interseção dessas duas condições é onde ambas são verdadeiras ao mesmo tempo. Isso significa que
precisa ser maior que -1 e também menor ou igual a 5.
Resposta
O domínio da função vetorial é
.