Seja D o interior do triângulo no plano, cujo os vértices são: A(0,0), B(1,-2) e C(5,14).
Calcule \iint_{\mathrm{D}} d x d y.

Passo 1

O enunciado descreve D como o interior do triângulo cujos vértices são
A(0,0),\quad B(1,-2),\quad C(5,14),
e pede
\iint_{D}dx\,dy.
Note que esse integral retorna a área de D. Para um triângulo em \mathbb R^2, podemos usar a fórmula
\text{Área}=\frac12\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\bigr|.Á

Passo 2

Calculamos os vetores que saem de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2), \quad \overrightarrow{AC}=C-A=(5,14).

Passo 3

O determinante desses vetores é
\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\begin{vmatrix}1 & 5\\\ -2 & 14\end{vmatrix} =1\cdot14-(-2)\cdot5 =14+10 =24.

Passo 4

Aplicando a fórmula da área:
\text{Área}(D) =\frac12\bigl|24\bigr| =12.Á

Resposta

12

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