Determine o domínio das funções vetoriais:
\vec{r}=\frac{t^{3}-1}{t^{2}-5 t+6} \vec{i}+\frac{\ln t}{t} \vec{j}+\left((1-t)^{\frac{1}{4}}-5\right) \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
\vec r(t) = \frac{t^{3}-1}{t^{2}-5t+6}\,\vec i + \frac{\ln t}{t}\,\vec j + \bigl((1-t)^{\tfrac14}-5\bigr)\,\vec k.
Para isso precisamos achar onde cada componente está bem definida e então fazer a interseção desses domínios.

Passo 2

Analisando a componente x(t)=\frac{t^{3}-1}{t^{2}-5t+6}:
o denominador não pode ser zero, ou seja
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3)\neq 0
logo t\neq2 e t\neq3. Dessa forma
D_x = \mathbb{R}\setminus\{2,3\}.

Passo 3

Analisando a componente y(t)=\frac{\ln t}{t}:
é preciso \ln t definido e t\neq0. Como \ln t exige
t>0 temos
D_y = (0,\infty).

Passo 4

Analisando a componente z(t)=(1-t)^{\tfrac14}-5:
a raiz de quarto grau de (1-t) exige
1 - t \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad t \le 1.
Logo
D_z = (-\infty,\,1].

Passo 5

O domínio da função vetorial é a interseção
D_x\cap D_y\cap D_z.
Temos
D_x=\mathbb{R}\setminus\{2,3\},
D_y=(0,\infty) e
D_z=(-\infty,1].
A interseção resulta em
(0,\infty)\;\cap\;(-\infty,1]\;=\;(0,1],
e como 2 e 3 já estão fora desse intervalo, não precisamos excluí-los de novo.

Resposta

O domínio é (0,1].

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