Determine o domínio das funções vetoriais:
\vec{r}=\ln \left(t^{2}-9\right) \vec{i}+\operatorname{arctg} t \vec{j}+\operatorname{sinh} \left(t^{2}\right) \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
\vec r(t)=\ln\bigl(t^{2}-9\bigr)\,\vec i+\arctan(t)\,\vec j+\operatorname{sinh}\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec k.
Aqui o que importa é achar para quais valores de t cada componente está bem definida.

Passo 2

A primeira componente é \ln\bigl(t^{2}-9\bigr). Para o logaritmo natural estar definido, precisamos de
t^{2}-9>0,
isto é,
t^{2}>9 \quad\Longrightarrow\quad t<-3\quad\text{ou}\quad t>3.

Passo 3

As outras duas componentes, \arctan(t) e \operatorname{sinh}(t^{2}), estão definidas para todo t\in\mathbb{R}.
Portanto, o domínio da função vetorial é dado pela interseção dos domínios das três componentes, que fica só condicionada pela primeira:
(-\infty,-3)\,\cup\,(3,\infty).

Resposta

O domínio de \vec r(t) é
(-\infty,-3)\cup(3,\infty).

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