Seja F(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right). Encontre F^{\prime}(t), F^{\prime \prime}(t) e F^{\prime}(t) \wedge F^{\prime \prime}(t).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
F(t) = \bigl(t,\;t^{2},\;t^{3}\bigr)
e pede as derivadas primeira e segunda, F'(t) e F''(t), e o produto externo (wedge) F'(t)\wedge F''(t). Para isso, vamos aplicar passo a passo a definição de derivada componente a componente e, em seguida, usar a fórmula do wedge em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos
F'(t) = \Bigl(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}t^{2},\;\frac{d}{dt}t^{3}\Bigr) = \bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr).

Passo 3

Derivando novamente cada componente de F'(t), obtemos
F''(t) = \Bigl(\frac{d}{dt}1,\;\frac{d}{dt}(2t),\;\frac{d}{dt}(3t^{2})\Bigr) = \bigl(0,\;2,\;6t\bigr).

Passo 4

Em \mathbb{R}^3, o wedge de dois vetores a=(a_{1},a_{2},a_{3}) e b=(b_{1},b_{2},b_{3}) é
a\wedge b = \sum_{1\le i<j\le3}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})\,e_{i}\wedge e_{j}.
Aplicando a isso com a=F'(t) e b=F''(t), vem
F'(t)\wedge F''(t) = \bigl(1,2t,3t^{2}\bigr)\wedge\bigl(0,2,6t\bigr) = 2\,e_{1}\wedge e_{2} +6t\,e_{1}\wedge e_{3} +6t^{2}\,e_{2}\wedge e_{3}.

Resposta

F'(t)=\bigl(1,2t,3t^{2}\bigr). F''(t)=\bigl(0,2,6t\bigr).
F'(t)\wedge F''(t) =2\,e_{1}\wedge e_{2} +6t\,e_{1}\wedge e_{3} +6t^{2}\,e_{2}\wedge e_{3}.

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