Determine o domínio das funções.
z=\sqrt{\frac{1+x}{1+y}}

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis
z = \sqrt{\frac{1+x}{1+y}}
e pede o domínio, isto é, o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais z é um número real bem definido.

Passo 2

Para que z seja real precisamos de duas condições simultâneas:
  1. O denominador dentro da fração não pode ser zero.
  2. O radicando da raiz deve ser maior ou igual a zero.

Passo 3

A primeira condição dá
1+y \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad y \neq -1.

Passo 4

A segunda condição é
\frac{1+x}{1+y} \ge 0.
Para que uma fração seja não-negativa, numerador e denominador devem ter o mesmo sinal. Logo há dois casos:
Caso A: 1+x \ge 0 e 1+y>0, isto é
x \ge -1 \quad\text{e}\quad y > -1.
Caso B: 1+x \le 0 e 1+y<0, isto é
x \le -1 \quad\text{e}\quad y < -1.
Repare que em ambos os casos y\neq -1 já está garantido.

Passo 5

Unindo os dois casos, o domínio é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid y> -1,\;x\ge -1\bigr\} \;\cup\; \bigl\{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid y< -1,\;x\le -1\bigr\}.

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid y> -1,\;x\ge -1\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid y< -1,\;x\le -1\}.

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