1. Determine o domínio de h(x)=ln (1+sen x). A função h pode ser estendida continuamente?

Passo 1

O enunciado pede o domínio de h(x)=lnl(1+sen xr) e pergunta se podemos estender h de modo contínuo nos pontos onde ela não está definida. Vamos usar o fato de que a função logarítmica exige argumento positivo e estudar o limite de h(x) perto dos pontos críticos.

Passo 2

Para que lnl(1+sen xr) esteja definida, precisamos ter
1 + sen x > 0
Isto é a condição que garante o argumento do ln sempre positivo.

Passo 3

Sabemos que sen x varia em [-1,1]. A desigualdade
sen x > -1
é satisfeita para todos os x, exceto quando sen x = -1. Esses pontos ocorrem em
x = 3pi2 + 2kpi, kinZ

Passo 4

Então o domínio de h é
D = l,xinRmid x neq tfrac3pi2 + 2kpi, kinZr

Passo 5

Para ver se dá para estender h continuamente em x0=tfrac3pi2+2kpi, calculamos o limite
limxto x0h(x) =limxto x0lnl(1+sen xr)
Como sen xto -1 em xto x0, temos 1+sen xto 0^+ e
lnl(1+sen xr)longrightarrow -infty
O limite não é finito, logo não há como preencher esses pontos com um valor real mantendo a continuidade.

Resposta

O domínio é
D=lxinRmid xneqtfrac3pi2+2kpi, kinZr,
e não há extensão contínua de h nos pontos excluídos, pois o limite ali é -infty.

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