Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
f(x)=1+(-1)^lfloor xrfloor2 sen(pi x)

Passo 1

O enunciado pede os pontos de continuidade da função
f(x)=1+(-1)^lfloor xrfloor2,sin(pi x)
O conteúdo envolvido é análise de continuidade de funções definidas por partes, em particular onde a expressão muda de ramo: nos inteiros. Precisamos (1) identificar esses ramos, (2) verificar continuidade no interior de cada ramo e (3) checar os pontos de transição lfloor xrfloor muda de valor, ou seja, xinZ.

Passo 2

Note que
1+(-1)^lfloor xrfloor2= 1,&lfloor xrfloor é par, 0,&lfloor xrfloor é ímpar ééí
Logo, escrevemos
f(x)= sin(pi x),&xin[2k,2k+1), 0,&xin[2k+1,2k+2), kinZ

Passo 3

Em cada intervalo aberto (2k,2k+1) a função é sin(pi x), que é contínua, e em (2k+1,2k+2) é a constante 0, também contínua. Portanto não há descontinuidade nessas regiões internas.

Passo 4

Os possíveis pontos problemáticos são os inteiros
e comparar com . Seja par ou ímpar, em ambos os casos observe que
e
Logo é contínua em cada .

Passo 5

Concluímos que não há nenhum ponto em que a continuidade falhe: nos interiores de cada ramo f é contínua, e nos pontos de mudança ( xinZ) os limites laterais coincidem com o valor da função.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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