Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de continuidade da função
O conteúdo envolvido é análise de continuidade de funções definidas por partes, em particular onde a expressão muda de ramo: nos inteiros. Precisamos (1) identificar esses ramos, (2) verificar continuidade no interior de cada ramo e (3) checar os pontos de transição muda de valor, ou seja, .
Em cada intervalo aberto (2k,2k+1) a função é sin(pi x), que é contínua, e em (2k+1,2k+2) é a constante 0, também contínua. Portanto não há descontinuidade nessas regiões internas.
Passo 4
Os possíveis pontos problemáticos são os inteiros
e comparar com . Seja par ou ímpar, em ambos os casos observe que
e
Logo é contínua em cada .
Passo 5
Concluímos que não há nenhum ponto em que a continuidade falhe: nos interiores de cada ramo f é contínua, e nos pontos de mudança (xinZ) os limites laterais coincidem com o valor da função.