1-Sejam e .
a) Mostre que e são soluções da equação diferencial
b) Prove que as duas soluções e são soluções fundamentais. Em seguida, determine a solução geral da equação dada.
c) Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Temos a equação diferencial 2x^2y'' - x y' -9y = 0 e as funções y1(x)=x^3, y2(x)=x^-tfrac32. Nosso plano: calcular as derivadas e mostrar que elas satisfazem a ED.
Passo 2
Para y1(x)=x^3, temos y1'(x)=3x^2 e y1''(x)=6x. Substituindo na equação:
Para mostrar que são soluções fundamentais, calculamos o Wronskiano: W(y1,y2) = y1y2' - y2y1' = x^3l(-tfrac32x^-tfrac52r) - x^-tfrac32l(3x^2r) = -tfrac92x^tfrac12 neq 0
Como o Wronskiano não anula, são linearmente independentes e formam base de soluções.
Passo 5
A solução geral da equação é
y(x)=C1x^3 + C2x^-tfrac32
Para o PVI, as condições são y(0)=0 e y'(1)=1. Para y(0) ser finito, devemos ter C2=0, então y(x)=C1x^3. Como y'(x)=3C1x^2, a condição y'(1)=1 dá 3C1=1, logo C1=tfrac13. Assim,
y(x)=tfracx^33
Resposta
As soluções fundamentais são y1(x)=x^3 e y2(x)=x^-tfrac32, a solução geral é y(x)=C1x^3 + C2x^-tfrac32, e a solução do PVI é y(x)=tfracx^33.