1-Sejam y1(x)=x^3 e y2(x)=x^-32.
a) Mostre que y1(x) e y2(x) são soluções da equação diferencial
2 x^2 y^prime prime-x y^prime-9 y=0
b) Prove que as duas soluções y1(x) e y2(x) são soluções fundamentais. Em seguida, determine a solução geral da equação dada.
c) Resolva o problema de valor inicial c2 x^2 y^prime prime-x y^prime-9 y=0 y(0)=0 y^prime(1)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial 2x^2y'' - x y' -9y = 0 e as funções y1(x)=x^3, y2(x)=x^-tfrac32. Nosso plano: calcular as derivadas e mostrar que elas satisfazem a ED.

Passo 2

Para y1(x)=x^3, temos y1'(x)=3x^2 e y1''(x)=6x. Substituindo na equação:
2x^2cdot6x - xcdot3x^2 -9x^3 = 12x^3 -3x^3 -9x^3 = 0
Logo, y1 é solução.

Passo 3

Para y2(x)=x^-tfrac32, calculamos y2'(x)=-tfrac32x^-tfrac52 e y2''(x)=tfrac154x^-tfrac72. Substituindo:
2x^2cdottfrac154x^-tfrac72 - xcdot(-tfrac32x^-tfrac52) -9x^-tfrac32 = 0
Logo, y2 também satisfaz a ED.

Passo 4

Para mostrar que são soluções fundamentais, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2) = y1y2' - y2y1' = x^3l(-tfrac32x^-tfrac52r) - x^-tfrac32l(3x^2r) = -tfrac92x^tfrac12 neq 0
Como o Wronskiano não anula, são linearmente independentes e formam base de soluções.

Passo 5

A solução geral da equação é
y(x)=C1x^3 + C2x^-tfrac32
Para o PVI, as condições são y(0)=0 e y'(1)=1. Para y(0) ser finito, devemos ter C2=0, então y(x)=C1x^3. Como y'(x)=3C1x^2, a condição y'(1)=1 3C1=1, logo C1=tfrac13. Assim,
y(x)=tfracx^33

Resposta

As soluções fundamentais são y1(x)=x^3 e y2(x)=x^-tfrac32, a solução geral é y(x)=C1x^3 + C2x^-tfrac32, e a solução do PVI é y(x)=tfracx^33.

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