Determine o Dominio, a Imagem c esboce o gráfico de:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}7 x, \text { se }|x| \leq 3 \\\\ 9, \text { se }|x|>3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 7x, & \text{se }|x|\le3,\\\\ 9, & \text{se }|x|>3. \end{cases}
O conteúdo aqui é funções definidas por partes. Vamos precisar identificar para quais x a função está definida (domínio), quais valores ela assume (imagem) e depois descrever o esboço do gráfico.

Passo 2

Para encontrar o domínio, observamos que toda x\in\mathbb{R} satisfaz ou |x|\le3 ou |x|>3. Em ambas as regiões f(x) está definida. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para obter a imagem, analisamos cada ramo:
  • Se |x|\le3, então f(x)=7x varia linearmente de 7(-3)=-21 até 7\cdot3=21, ou seja [-21,21].
  • Se |x|>3, então f(x)=9, que é um valor constante. Note que 9\in[-21,21].
    Portanto todos os valores de f ficam em [-21,21], e como o ramo linear atinge as extremidades, temos
\mathrm{Im}(f)=[-21,21].

Passo 4

Esboço do gráfico:
  1. No intervalo [-3,3], traçamos a reta y=7x com ponto fechado em (-3,-21) e em (3,21).
  2. Para x<-3 e para x>3, traçamos a linha horizontal y=9. Nos pontos (-3,9) e (3,9) usamos círculos abertos, pois nesses x vale a reta, não o valor 9.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-21,21]
Gráfico: reta y=7x em [-3,3] com fechamentos nos extremos e linhas horizontais y=9 para |x|>3, com círculos abertos em (-3,9) e (3,9).

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