Determine o Dominio, a Imagem c esboce o gráfico de: f(x)=\left\{\begin{array}{l}7 x, \text { se }|x| \leq 3 \\\\ 9, \text { se }|x|>3\end{array}\right.
O conteúdo aqui é funções definidas por partes. Vamos precisar identificar para quais x a função está definida (domínio), quais valores ela assume (imagem) e depois descrever o esboço do gráfico.
Passo 2
Para encontrar o domínio, observamos que toda x\in\mathbb{R} satisfaz ou |x|\le3 ou |x|>3. Em ambas as regiões f(x) está definida. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Passo 3
Para obter a imagem, analisamos cada ramo:
Se |x|\le3, então f(x)=7x varia linearmente de 7(-3)=-21 até 7\cdot3=21, ou seja [-21,21].
Se |x|>3, então f(x)=9, que é um valor constante. Note que 9\in[-21,21].
Portanto todos os valores de f ficam em [-21,21], e como o ramo linear atinge as extremidades, temos
\mathrm{Im}(f)=[-21,21].
Passo 4
Esboço do gráfico:
No intervalo [-3,3], traçamos a reta y=7x com ponto fechado em (-3,-21) e em (3,21).
Para x<-3 e para x>3, traçamos a linha horizontal y=9. Nos pontos (-3,9) e (3,9) usamos círculos abertos, pois nesses x vale a reta, não o valor 9.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-21,21]
Gráfico: reta y=7x em [-3,3] com fechamentos nos extremos e linhas horizontais y=9 para |x|>3, com círculos abertos em (-3,9) e (3,9).