Determine o Dominio, a Imagem c esboce o gráfico de:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, \text { se } \mathrm{x} \leq-1 \\\ x^{3}, \text { se }|\mathrm{x}|<1 \\\\ 2 x+3, \text { se } \mathrm{x} \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+2, & x\le -1,\\\ x^3, & |x|<1,\\\\ 2x+3, & x\ge1, \end{cases}
e pede o domínio, a imagem (conjunto-alvo efetivamente atingido) e o esboço do gráfico. Para resolver, vamos: (1) juntar os intervalos de definição para achar o domínio; (2) calcular o conjunto de valores de cada ramo e unir para obter a imagem; (3) descrever como desenhar cada trecho, marcando pontos de conexão e possíveis descontinuidades.

Passo 2

Domínio é a união dos três intervalos de definição:
(-\infty,-1]\;\cup\;(-1,1)\;\cup\;[1,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para o ramo f(x)=x+2 com x\le -1, temos
f(x)\le -1+2=1,
logo sua imagem é (-\infty,1].

Passo 4

Para o ramo f(x)=x^3 em -1<x<1, a função cúbica é crescente e satisfaz
\lim_{x\to -1^+}x^3=-1,\quad \lim_{x\to1^-}x^3=1,
portanto a imagem desse trecho é (-1,1).

Passo 5

Para o ramo f(x)=2x+3 com x\ge1, temos em x=1 o valor 2\cdot1+3=5 e, como a reta cresce, a imagem é [5,\infty).

Passo 6

Unindo as imagens dos três trechos,
(-\infty,1]\;\cup\;(-1,1)\;\cup\;[5,\infty) = (-\infty,1]\;\cup\;[5,\infty).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x\le -1, desenhe a reta de coeficiente angular 1 e intercepto 2; em (-1,1) coloque ponto cheio.
  • No ponto (-1,-1), que seria o fim do ramo cúbico, marque círculo aberto (pois x^3 não vale em -1).
  • Para -1<x<1, trace a curva y=x^3; em (1,1) marque círculo aberto.
  • Para x\ge1, desenhe a reta de coeficiente angular 2 e intercepto 3; em (1,5) coloque ponto cheio.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,1]\cup[5,\infty)
Gráfico: três trechos conforme descrito acima, com círculos cheios em (-1,1) e (1,5) e círculos abertos em (-1,-1) e (1,1).

Exercícios relacionados