Suponha que arg (z1-z2z3-z4)=pi2 e sejam quatro números complexos distintos. Interprete geometricamente:

Passo 1

A questão nos dá quatro números complexos distintos z₁, z₂, z₃, z₄ e pede para interpretar geometricamente a igualdade argl((z₁ - z₂)/(z₃ - z₄)r) = pi/2. O conteúdo envolvido é argumento de quociente de números complexos e sua relação com ângulos orientados entre vetores.

Passo 2

Para dois complexos não nulos u e v vale a propriedade arg(u/v)=arg(u)-arg(v). No nosso caso, tomando u=z₁-z₂ e v=z₃-z₄, temos
arg(z₁ - z₂) - arg(z₃ - z₄) = pi2

Passo 3

O valor arg(z₁ - z₂) representa o ângulo que o vetor que vai de z₂ até z₁ faz com o eixo real positivo. De modo análogo, arg(z₃ - z₄) é o ângulo do vetor de z₄ até z₃. A diferença desses ângulos ser pi/2 significa que, para ir da direção z₄→z₃ até a direção z₂→z₁, fazemos uma rotação de 90^circ no sentido anti-horário.

Passo 4

Geometricamente, isso quer dizer que o segmento que liga z₂ a z₁ é perpendicular ao segmento que liga z₄ a z₃, com ângulo orientado de pi/2 de z₄→z₃ para z₂→z₁.

Resposta

A reta que passa por z₁ e z₂ é perpendicular à reta que passa por z₃ e z₄, e o vetor z₂→z₁ resulta de girar o vetor z₄→z₃ em pi/2 no sentido anti-horário.

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