Resolver os problemas seguintes usando a transformada de Laplace :
e
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas:
–
–
–
–
–
–
Passo 2
Aplicar
nos dois lados: usando
, temos
ou seja
Passo 3
Isolar
:
Passo 4
Fazer frações parciais: escrevemos
Determinando coeficientes resulta em
. Então
Passo 5
Reescrever o segundo termo como diferença de simples polos: note que
Logo
$$
\frac1{s^2-2s-2}=\frac1{2\sqrt3}\Bigl(\frac1{s-(1+\sqrt3)}-\frac1{s-(1-\sqrt3)}\Bigr).
$$
Fazendo a transformada inversa:
Fazendo a transformada inversa:
Passo 6
Usando
e
, chegamos a
Resposta
[
y(t)=e{-t}+\frac{1}{2\sqrt3}\bigl(e{(1+\sqrt3)t}-e^{(1-\sqrt3)t}\bigr)
]
y(t)=e{-t}+\frac{1}{2\sqrt3}\bigl(e{(1+\sqrt3)t}-e^{(1-\sqrt3)t}\bigr)
]