Resolver os problemas seguintes usando a transformada de Laplace :
y^prime prime-2 y^prime-2 y=e^-t, y(0)=1 e y^prime(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''-2y'-2y=e^-t, y(0)=1, y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas:
Ly'=sY(s)-y(0)
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
Le^-t=1/(s+1)

Passo 2

Aplicar L nos dois lados: usando Y(s)= Ly(t), temos
(s^2Y - scdot1 -0) -2(sY -1) -2Y = 1s+1
ou seja
Y(s)(s^2-2s-2) -s +2 = 1s+1

Passo 3

Isolar Y(s):
Y(s)=1/(s+1)+s-2s^2-2s-2 =s-2+tfrac1s+1s^2-2s-2 =s^2 -s -1(s+1)(s^2-2s-2)

Passo 4

Fazer frações parciais: escrevemos
s^2-s-1(s+1)(s^2-2s-2)=As+1+Bs+Cs^2-2s-2
Determinando coeficientes resulta em A=1, B=0, C=1. Então
Y(s)=1s+1+1s^2-2s-2

Passo 5

Reescrever o segundo termo como diferença de simples polos: note que
s^2-2s-2=(s-1)^2-3=(s-(1+raiz3))(s-(1-raiz3))
Logo
$$
\frac1{s^2-2s-2}=\frac1{2\sqrt3}\Bigl(\frac1{s-(1+\sqrt3)}-\frac1{s-(1-\sqrt3)}\Bigr).
$$
Fazendo a transformada inversa:

Passo 6

Usando L^-11/(s+1)=e^-t e L^-11/(s-a)=e^at, chegamos a
y(t)=e^-t+12raiz3l(e^(1+raiz3)t-e^(1-raiz3)tr)

Resposta

[
y(t)=e{-t}+\frac{1}{2\sqrt3}\bigl(e{(1+\sqrt3)t}-e^{(1-\sqrt3)t}\bigr)
]

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