Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio e a imagem da função f(x)=ln|x|. Vamos usar propriedades de logaritmo e valor absoluto para resolver.
Passo 2
Para entrar no logaritmo natural precisamos que o argumento seja estritamente positivo. Aqui o argumento é |x|, então exigimos
. Isso equivale a x≠0. Portanto o domínio é todos os reais exceto zero:
.
Passo 3
Para a imagem, observe o comportamento de ln|x| quando x→0 e quando x→±∞. Se x→0, então |x|→0+ e ln|x|→−∞. Se |x|→∞ (isto é, x→±∞), então ln|x|→+∞. Assim a função assume todos os valores reais.
Passo 4
Concluímos que o conjunto-valor de f é todo ℝ.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.