Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.
f(x)=ln |x|

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio e a imagem da função f(x)=ln|x|. Vamos usar propriedades de logaritmo e valor absoluto para resolver.

Passo 2

Para entrar no logaritmo natural precisamos que o argumento seja estritamente positivo. Aqui o argumento é |x|, então exigimos |x|>0. Isso equivale a x≠0. Portanto o domínio é todos os reais exceto zero: (-infty,0)cup(0,infty).

Passo 3

Para a imagem, observe o comportamento de ln|x| quando x→0 e quando x→±∞. Se x→0, então |x|→0+ e ln|x|→−∞. Se |x|→∞ (isto é, x→±∞), então ln|x|→+∞. Assim a função assume todos os valores reais.

Passo 4

Concluímos que o conjunto-valor de f é todo ℝ.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty). Imagem: R.

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