As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial y(0)=0 é sua solução geral. y^prime(0)=0 é sua solução homogênea, para C1+C2 e constantes e e são soluções linearmente independentes. é sua solução particular.
Sejam e suas condições iniciais, qual o valor de ?
(a) 1
(b) 0
© -3
(d) 6
(e) NDA

Passo 1

A equação diferencial é y'' - 6y' + 9y = 27t + e^2t. Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar primeiro a solução homogênea yH usando a equação característica e depois uma solução particular yP via coeficientes indeterminados. Em seguida, aplicamos as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 para determinar C1 e C2 e, por fim, calculamos C1 + C2.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz a equação característica r^2 - 6r + 9 = 0, cuja raiz dupla é r=3. Logo, duas soluções independentes são y1 = e^3t e y2 = te^3t. Assim,
yH = C1 e^3t + C2 , t e^3t

Passo 3

Para a parte particular, separamos o RHS em dois termos. Primeiro, para 27t, tentamos yP1 = At + B. Derivando e substituindo, obtemos
yP1"" - 6yP1" +9yP1 = 9At + (9B -6A) = 27t + 0

Passo 4

Igualando coeficientes:
9A = 27 implies A=3,
9B -6A = 0 implies B=2

Passo 5

Logo,
yP1 = 3t + 2

Passo 6

Para o termo e^2t, tentamos yP2 = Ce^2t. Substituindo,
yP2"" -6yP2"+9yP2 = C e^2t = e^2t implies C=1

Passo 7

Logo,
yP2 = e^2t

Passo 8

Somando, temos a solução geral:
y(t) = C1 e^3t + C2 t e^3t + 3t + 2 + e^2t

Passo 9

Derivando:
y'(t) = 3C1 e^3t + C2 e^3t +3C2 t e^3t + 3 + 2e^2t

Passo 10

Aplicando y(0)=0:
C1 + 0 + 0 +2 +1 =0 implies C1 +3 =0 implies C1 = -3

Passo 11

Aplicando y'(0)=0:
(3C1 + C2) +3 +2 =0 implies 3(-3) + C2 +5 =0 implies C2 -4 =0 implies C2 =4

Passo 12

Portanto,
C1 + C2 = -3 + 4 = 1

Resposta

1

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