As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial
é sua solução geral.
é sua solução homogênea, para
e
constantes e
e
são soluções linearmente independentes.
é sua solução particular.
Sejam
e
suas condições iniciais, qual o valor de
?
(a) 1
(b) 0
© -3
(d) 6
(e) NDA
Sejam
(a) 1
(b) 0
© -3
(d) 6
(e) NDA
Passo 1
A equação diferencial é
. Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar primeiro a solução homogênea
usando a equação característica e depois uma solução particular
via coeficientes indeterminados. Em seguida, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar
e
e, por fim, calculamos
.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz a equação característica
, cuja raiz dupla é
. Logo, duas soluções independentes são
e
. Assim,
Passo 3
Para a parte particular, separamos o RHS em dois termos. Primeiro, para
, tentamos
. Derivando e substituindo, obtemos
Passo 4
Igualando coeficientes:
Passo 5
Logo,
Passo 6
Para o termo
, tentamos
. Substituindo,
Passo 7
Logo,
Passo 8
Somando, temos a solução geral:
Passo 9
Derivando:
Passo 10
Aplicando
:
Passo 11
Aplicando
:
Passo 12
Portanto,
Resposta
1