As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial y1(2)+y2(2) é sua solução geral. 3 e^6 é sua solução homogênea, para e^6+e^-6 e 2 e^6 constantes e e^-6 e são soluções linearmente independentes. é sua solução particular.
Qual o valor de ?
(a)
(b)
©
(d)
(e) NDA

Passo 1

O enunciado pede o valor de y₁(2)+y₂(2) para a equação diferencial y’‘−6y’+9y=27t+e^{2t}. O foco aqui é a parte homogênea y_H=C₁y₁+C₂y₂, então o conteúdo é equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e precisamos achar as duas soluções independentes y₁ e y₂.

Passo 2

Para obter y_H, consideramos a ODE homogênea associada:
y''-6y'+9y=0
e montamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r^2-6r+9=0
que tem delta zero, logo raiz dupla
r= rac62=3

Passo 4

Quando a raiz é dupla r=3, as duas soluções linearmente independentes são
y1(t)=e^3t,
y2(t)=t e^3t

Passo 5

Avalia-se em t=2:
y1(2)=e^3·2=e^6,
y2(2)=2·e^3·2=2e^6
Somando: y₁(2)+y₂(2)=e6+2e6=3e^6.

Resposta

3 e^{6}

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