As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial yP(0) é sua solução geral. é sua solução homogênea, para e constantes e e são soluções linearmente independentes. é sua solução particular.
Qual o valor de ?
(a) 3
(b) 1
© 0
(d) 2
(e) NDA

Passo 1

O enunciado diz que temos a EDO linear com coeficientes constantes
y''-6y'+9y=27t+e^2t,
o objetivo é achar a solução particular yP e, em seguida, calcular yP(0). Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea vem da equação característica r^2-6r+9=0, que tem raiz dupla r=3. Logo,
yH=C1e^3t+C2te^3t
Isso nos diz que, para a parte não homogênea, não há ressonância com termos polinomiais de grau 1 ou com e^2t.

Passo 3

Para a parte forçante 27t proponho um polinômio de grau 1:
yP1(t)= ta+beta,
e para e^2t proponho
yP2(t)= gamma e^2t
Então
yP(t)=3t+2+e^2t,
mas vamos checar como se acha os coeficientes.

Passo 4

Calculo as derivadas de yP(t)=alpha t+beta+gamma e^2t:
yP'=alpha+2gamma e^2t,
yP''=4gamma e^2t
Substituindo em y''-6y'+9y obtemos
4gamma e^2t-6(alpha+2gamma e^2t)+9(alpha t+beta+gamma e^2t)=9alpha t+(9beta-6alpha)+gamma e^2t
Isso deve ser igual a 27t+e^2t.

Passo 5

Igualando os coeficientes de termos semelhantes:
Para t: 9alpha=27 alpha=3.
Para constantes: 9beta-6alpha=0 9beta-18=0 beta=2.
Para e^2t: gamma=1.
Logo
yP(t)=3t+2+e^2t

Passo 6

Finalmente, avaliando em t=0:
yP(0)=3cdot0+2+e^0=2+1=3

Resposta

3

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