Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.
f(x)=log x 3

Passo 1

A função é f(x)=logx 3. O conteúdo do exercício é logaritmo de base variável. Para resolver, vamos precisar usar as restrições da definição de logaritmo (base deve ser positiva e ≠1, argumento positivo) e também a fórmula de mudança de base logx3=ln3ln x.

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que a base de um logaritmo precisa satisfazer x>0 e xneq1, e o argumento (aqui 3) precisa ser positivo. Como 3 já é positivo, não impõe restrição extra. Logo, o domínio é
(0,1)cup(1,infty).

Passo 3

Para determinar a imagem, usamos f(x)=ln3ln x. Em (1,infty), temos ln x>0, então f(x)>0 e, quando xto1^+, ln xto0^+ faz f(x)to+infty, e quando xto+infty, ln xto+infty faz f(x)to0^+. Em (0,1), ln x<0, então f(x)<0 e, quando xto1^-, ln xto0^- faz f(x)to-infty, e quando xto0^+, ln xto-infty faz f(x)to0^-. Note que nunca temos f(x)=0. Portanto, a imagem é
(-infty,0)cup(0,infty).

Resposta

Domínio: (0,1)cup(1,infty); Imagem: (-infty,0)cup(0,infty).

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