Na Seção 2.1 definimos a função exponencial complexa
como
.
(a) Mostre que
é uma função inteira.
(b) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
Temos a função
. A parte (a) pede para mostrar que
é inteira (ou seja, holomorfa em todo
), e a parte (b) quer provar que a derivada complexa satisfaz
. Vamos usar a teoria de funções complexas: equações de Cauchy–Riemann e cálculo de derivada via parciais.
Passo 2
Separamos em parte real e imaginária:
e
. Calculamos as derivadas parciais:
,
,
e
.
Passo 3
Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
e
. Como todas as derivadas parciais são contínuas em
, concluímos que
é holomorfa em todo o plano complexo, isto é,
é inteira.
Passo 4
A derivada complexa é dada por
Substituindo os valores, temos
Resposta
A função
é inteira e satisfaz
.