Na Seção 2.1 definimos a função exponencial complexa f(z)=e^z como e^z=e^x cos y+i e^x sen y.
(a) Mostre que f(z)=e^z é uma função inteira.
(b) Mostre que f^prime(z)=f(z).

Passo 1

Temos a função f(z)=e^z=e^xcos y + i e^xsin y. A parte (a) pede para mostrar que f é inteira (ou seja, holomorfa em todo C), e a parte (b) quer provar que a derivada complexa satisfaz f'(z)=f(z). Vamos usar a teoria de funções complexas: equações de Cauchy–Riemann e cálculo de derivada via parciais.

Passo 2

Separamos em parte real e imaginária: u(x,y)=e^xcos y e v(x,y)=e^xsin y. Calculamos as derivadas parciais: ux=e^xcos y, uy=-e^xsin y, vx=e^xsin y e vy=e^xcos y.

Passo 3

Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann: ux=vy e uy=-vx. Como todas as derivadas parciais são contínuas em R^2, concluímos que f é holomorfa em todo o plano complexo, isto é, f é inteira.

Passo 4

A derivada complexa é dada por
f'(z)=ux + i,vx
Substituindo os valores, temos
f'(z)=e^xcos y + i e^xsin y = e^z = f(z)

Resposta

A função f(z)=e^z é inteira e satisfaz f'(z)=f(z).

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