Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede:
- Determinar o domínio de
(todos os reais para os quais a expressão faz sentido). - Determinar a imagem (conjunto de valores que
assume quando varia pelo domínio).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar (sem resolver ainda):
- Aparece uma raiz quadrada
, e essa raiz só está definida nos reais quando o radicando é não negativo. - A raiz quadrada principal
é sempre um número não negativo.
Passo 2
Encontrar o domínio aplicando a condição do radicando da raiz:
Resolver essa desigualdade:
Portanto todos os
menores ou iguais a zero são admissíveis. Além disso,
é permitido porque
. Conclusão provisória:
Passo 3
Para estudar a imagem, é conveniente fazer a mudança de variável que deixa a expressão mais simples. Seja
Como
no domínio, temos
. Reescrevendo
em termos de
:
Defina a função auxiliar
Assim
com
. A imagem de
será
(imagem de
em
).
Passo 4
Estudar
para
.
- Valor no zero:
- Comportamento quando
:
- Monotonicidade: para
a derivada é
logo
é estritamente crescente em
. Em
a função é contínua e cresce logo em seguida, então
é crescente em
.
Por ser contínua e crescente em
com
e
, segue que
Aplicando o sinal negativo:
Isto indica que a imagem de
é
:
atinge todos os números negativos e o zero.
Passo 5
Mostrar explicitamente que qualquer
é realmente alcançado por algum
do domínio (construção inversa), para convencer sem ambiguidades.
Dado
, defina
. Queremos
com
Isto equivale a
Ponha
. Então
e a equação fica
Resolver a quadrática (em
):
Como
e
, a única solução viável é
Então
e
. Verificando:
Isso prova que todo
é realmente imagem de algum
do domínio. Logo a imagem é exatamente
.
Passo 6
Resumo final e motivação rápida (animação amiga): a raiz exige
, e reescrevendo com
vemos que a parte subtraída é sempre não negativa e cresce com
, fazendo
variar de
(em
) até
(quando
). Portanto domínio e imagem ficam bem simples e simétricas.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: