Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x-\sqrt{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x-\sqrt{-x}.
O que o problema pede:
  • Determinar o domínio de f (todos os x reais para os quais a expressão faz sentido).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores que f(x) assume quando x varia pelo domínio).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar (sem resolver ainda):
  • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{-x}, e essa raiz só está definida nos reais quando o radicando é não negativo.
  • A raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} é sempre um número não negativo.

Passo 2

Encontrar o domínio aplicando a condição do radicando da raiz:
\text{o radicando é } -x \quad\Rightarrow\quad -x \ge 0.é
Resolver essa desigualdade:
-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 0.
Portanto todos os x menores ou iguais a zero são admissíveis. Além disso, x=0 é permitido porque \sqrt{-0}=\sqrt{0}=0. Conclusão provisória:
\text{Domínio: }(-\infty,0].í

Passo 3

Para estudar a imagem, é conveniente fazer a mudança de variável que deixa a expressão mais simples. Seja
t=-x.
Como x\le 0 no domínio, temos t\ge 0. Reescrevendo f em termos de t:
f(x)=x-\sqrt{-x} = -t - \sqrt{t} = -\bigl(t+\sqrt{t}\bigr).
Defina a função auxiliar
g(t)=t+\sqrt{t},\qquad t\in[0,\infty).
Assim f(x) = -g(t) com t\in[0,\infty). A imagem de f será - (imagem de g em [0,\infty)).

Passo 4

Estudar g(t)=t+\sqrt{t} para t\ge 0.
  • Valor no zero:
g(0)=0+ \sqrt{0}=0.
  • Comportamento quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} g(t)=\infty \quad\text{(pois o termo }t\text{ domina e cresce sem limite).}
  • Monotonicidade: para t>0 a derivada é
g'(t)=1+\frac{1}{2\sqrt{t}}>0,
logo g é estritamente crescente em (0,\infty). Em t=0 a função é contínua e cresce logo em seguida, então g é crescente em [0,\infty).
Por ser contínua e crescente em [0,\infty) com g(0)=0 e \lim_{t\to\infty}g(t)=\infty, segue que
g\bigl([0,\infty)\bigr)=[0,\infty).
Aplicando o sinal negativo:
f\bigl((-\infty,0]\bigr) = -g\bigl([0,\infty)\bigr)=(-\infty,0].
Isto indica que a imagem de f é (-\infty,0]: f atinge todos os números negativos e o zero.

Passo 5

Mostrar explicitamente que qualquer y\le 0 é realmente alcançado por algum x do domínio (construção inversa), para convencer sem ambiguidades.
Dado y\le 0, defina s=-y\ge 0. Queremos x\le 0 com
f(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad -\bigl(t+\sqrt{t}\bigr)=y\quad\text{com }t=-x.
Isto equivale a
t+\sqrt{t}=s.
Ponha u=\sqrt{t}\ge 0. Então t=u^2 e a equação fica
u^2+u-s=0.
Resolver a quadrática (em u):
u=\frac{-1\pm\sqrt{1+4s}}{2}.
Como u\ge 0 e \sqrt{1+4s}\ge 1, a única solução viável é
u=\frac{-1+\sqrt{1+4s}}{2}\ge 0.
Então t=u^2\ge 0 e x=-t=-u^2\le 0. Verificando:
f(x) = -\bigl(t+\sqrt{t}\bigr) = -(u^2+u) = -s = y.
Isso prova que todo y\le 0 é realmente imagem de algum x do domínio. Logo a imagem é exatamente (-\infty,0].

Passo 6

Resumo final e motivação rápida (animação amiga): a raiz exige x\le 0, e reescrevendo com t=-x vemos que a parte subtraída é sempre não negativa e cresce com |x|, fazendo f(x) variar de 0 (em x=0) até -\infty (quando x\to-\infty). Portanto domínio e imagem ficam bem simples e simétricas.

Resposta

Domínio: (-\infty,0]
Imagem: (-\infty,0]

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