Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é o número
. - O denominador é
, uma raiz quadrada (com sinal principal). - Para a função ser real e bem definida, é necessário observar restrições sobre a raiz e sobre o denominador.
Passo 2
Entender as restrições da expressão
.
Explicação didática do que exige cada condição:
- A raiz quadrada
de um número real está definida somente para argumentos não negativos. Ou seja, é preciso ter
- Além disso, como a raiz aparece no denominador, não se pode ter denominador igual a zero. Assim, deve valer
Combinação das duas condições: a primeira dá
e a segunda exclui o caso de igualdade
. Juntando:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, a condição para
é
. Em notação de intervalo, o domínio candidato é
.
Passo 3
Confirmar que para todo
do domínio candidato a função está bem definida e é real.
Se
então
e
é um número real positivo (maior que zero), logo
é um número real bem definido. Portanto o domínio é realmente
Passo 4
Determinar a imagem (conjunto de valores que
atinge).
Primeiro raciocínio intuitivo com monotonicidade:
- Para
, a quantidade varia em : quando se aproxima de pela direita, ; quando , . - A função
para é positiva e estritamente decrescente, com limites quando e quando . - Com
obtemos que varia de (quando ) até (quando ). Assim os valores possíveis de formam o intervalo .
Se quiser uma confirmação por derivada (opcional, mas útil na prova):
- Reescrevendo
, a derivada é
- Para
tem-se , logo . Isso mostra que é estritamente decrescente no domínio, o que confirma que os valores percorrem sem lacuna o intervalo .
Também é útil ver alguns valores concretos:
Esses exemplos mostram valores positivos que podem ser grandes (perto de
) e que se aproximam de zero quando
cresce.
Portanto a imagem é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: