Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
h(x)=\frac{5}{\sqrt{x+6}}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\dfrac{5}{\sqrt{x+6}} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de h.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de h.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é o número 5.
  • O denominador é \sqrt{x+6}, uma raiz quadrada (com sinal principal).
  • Para a função ser real e bem definida, é necessário observar restrições sobre a raiz e sobre o denominador.

Passo 2

Entender as restrições da expressão \dfrac{5}{\sqrt{x+6}}.
Explicação didática do que exige cada condição:
  • A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} de um número real está definida somente para argumentos não negativos. Ou seja, é preciso ter
x+6 \ge 0.
  • Além disso, como a raiz aparece no denominador, não se pode ter denominador igual a zero. Assim, deve valer
\sqrt{x+6} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x+6 \neq 0.
Combinação das duas condições: a primeira dá x+6\ge 0 e a segunda exclui o caso de igualdade x+6=0. Juntando:
x+6>0.
Resolvendo essa desigualdade:
x>-6.
Portanto, a condição para x é x>-6. Em notação de intervalo, o domínio candidato é (-6,\,+\infty).

Passo 3

Confirmar que para todo x do domínio candidato a função está bem definida e é real.
Se x>-6 então x+6>0 e \sqrt{x+6} é um número real positivo (maior que zero), logo \dfrac{5}{\sqrt{x+6}} é um número real bem definido. Portanto o domínio é realmente
(-6,\,+\infty).

Passo 4

Determinar a imagem (conjunto de valores que h(x) atinge).
Primeiro raciocínio intuitivo com monotonicidade:
  • Para x>-6, a quantidade \sqrt{x+6} varia em (0,\,+\infty): quando x se aproxima de -6 pela direita, \sqrt{x+6}\to 0^+; quando x\to+\infty, \sqrt{x+6}\to+\infty.
  • A função t\mapsto\dfrac{5}{t} para t>0 é positiva e estritamente decrescente, com limites \dfrac{5}{t}\to+\infty quando t\to0^+ e \dfrac{5}{t}\to0^+ quando t\to+\infty.
  • Com t=\sqrt{x+6}\in(0,\infty) obtemos que h(x)=\dfrac{5}{t} varia de +\infty (quando x\to-6^+) até 0^+ (quando x\to+\infty). Assim os valores possíveis de h formam o intervalo (0,\,+\infty).
Se quiser uma confirmação por derivada (opcional, mas útil na prova):
  • Reescrevendo h(x)=5(x+6)^{-1/2}, a derivada é
h'(x)=5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x+6)^{-3/2} = -\dfrac{5}{2}(x+6)^{-3/2}.
  • Para x>-6 tem-se (x+6)^{-3/2}>0, logo h'(x)<0. Isso mostra que h é estritamente decrescente no domínio, o que confirma que os valores percorrem sem lacuna o intervalo (0,\infty).
Também é útil ver alguns valores concretos:
\text{se } x=-5 \Rightarrow h(-5)=\dfrac{5}{\sqrt{1}}=5,
\text{se } x=-5{,}75 \Rightarrow x+6=0{,}25,\\ \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \Rightarrow h(-5{,}75)=\dfrac{5}{0{,}5}=10,
\text{se } x=4 \Rightarrow x+6=10,\\ \sqrt{10}\approx3{,}162\Rightarrow h(4)\approx\dfrac{5}{3{,}162}\approx1{,}581.
Esses exemplos mostram valores positivos que podem ser grandes (perto de -6) e que se aproximam de zero quando x cresce.
Portanto a imagem é
(0,\,+\infty).

Resposta

Domínio: (-6,\,+\infty)
Imagem: (0,\,+\infty)

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