Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
Aqui precisamos usar duas ideias do logaritmo:
. O argumento
deve ser positivo.
. A base
deve ser positiva, diferente de
.
Passo 2
Condições para o domínio:
. Argumento
:
As raízes de
são
e
, logo
Fazendo a interseção com
obtemos
com
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Para achar a imagem, escrevemos
e analisamos os dois ramos:
Ramo
:
.
Então , logo
.
Então
- Quando
: dá , enquanto e .
Assim - Quando
: dá , e , logo
Como o ramo é contínuo, ele varre todos os valores de
até
.
Logo a imagem nesse ramo é
Logo a imagem nesse ramo é
Ramo
:
.
Aqui , então
.
Aqui
- Quando
: e , então - Quando
: dá , com denominador finito positivo, logo
Pela continuidade, esse ramo atinge todos os valores reais, ou seja,
Passo 4
Juntando os dois ramos:
- Em
a imagem é . - Em
a imagem é .
Logo, a imagem total de
é
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Imagem: