Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções dadas.
f(x)=log (2 x-3)(3+2 x-x^2)

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=log(2x-3)l(3+2x-x^2r)
Aqui precisamos usar duas ideias do logaritmo:
1. O argumento 3+2x-x^2 deve ser positivo.
2. A base 2x-3 deve ser positiva, diferente de 1.

Passo 2

Condições para o domínio:
1. Argumento >0:
3+2x-x^2>0;Long<=ftrightarrow;-x^2+2x+3>0 ;Long<=ftrightarrow;x^2-2x-3<0
As raízes de x^2-2x-3=0 são x=-1 e x=3, logo
-1<x<3
2. Base >0 e neq1:
2x-3>0;Long<=ftrightarrow;x>tfrac32, 2x-3neq1;Long<=ftrightarrow;xneq2
Fazendo a interseção com -1<x<3 obtemos
x>tfrac32e x<3,
com xneq2.
Portanto
Dom(f)=l(tfrac32,2r)cupl(2,3r)

Passo 3

Para achar a imagem, escrevemos
f(x)=lnl(3+2x-x^2r)ln(2x-3)
e analisamos os dois ramos:
Ramo 1: xin(tfrac32,2).
Então 0<2x-3<1, logo ln(2x-3)<0.
  • Quando xtotfrac32^+: 2x-3to0^+ ln(2x-3)to-infty, enquanto 3+2x-x^2to3,75 e ln(3,75)>0.
    Assim f(x);=;ln(3+2x-x^2)ln(2x-3);longrightarrow;0^-
  • Quando xto2^-: 2x-3to1^- ln(2x-3)to0^-, e ln(3+2x-x^2)toln(3)>0, logo f(x)longrightarrow-infty
Como o ramo é contínuo, ele varre todos os valores de -infty até 0.
Logo a imagem nesse ramo é
(-infty,0)
Ramo 2: xin(2,3).
Aqui 2x-3>1, então ln(2x-3)>0.
  • Quando xto2^+: ln(2x-3)to0^+ e ln(3+2x-x^2)toln(3)>0, então f(x)longrightarrow+infty
  • Quando xto3^-: 3+2x-x^2to0^+ ln(3+2x-x^2)to-infty, com denominador finito positivo, logo f(x)longrightarrow-infty
Pela continuidade, esse ramo atinge todos os valores reais, ou seja,
(-infty,+infty)=R

Passo 4

Juntando os dois ramos:
  • Em (tfrac32,2) a imagem é (-infty,0).
  • Em (2,3) a imagem é R.
Logo, a imagem total de f é
Im(f)=R

Resposta

Domínio: l(tfrac32,2r),cup,(2,3).
Imagem: R.

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